Предел последовательности в n-мерном евклидовом пространстве

[Nogin Anton]

Добрый вечер!
Нашёл в поиске одно определение, но не уверен в его правильности:
Точка $x\in E^n$ называется пределом последовательности ${x_m}$, если выполняется условие
$\lim_{m \right {+\infty}}{p(x,x_m)}=0$

[paha]

Nogin Anton в сообщении #305450 писал(а):

Точка $x\in E^n$ называется пределом последовательности ${x_m}$, если выполняется условие
$\lim\limits_{m \to {+\infty}}{\rho(x,x_m)}=0$

Если $\rho$ -- расстояние, то таки да

[Nogin Anton]

А так ещё можно?
"$X^{(0)}$ называется пределом последовательности ${x^{(m)}}$, если предел расстояния $p$ между точками $x_0$и $x_m$ при m, стремящемся к бесконечности, равен нулю"

[paha]

Nogin Anton в сообщении #305458 писал(а):

если предел расстояния $p$ между точками

так это буквально то же самое

[Nogin Anton]

Только словами) спасибо!

-- Чт апр 01, 2010 23:14:29 --

Вопрос ещё один из коллоквиума:
В чём особенность предела функции нескольких переменных?
Число $a$ называется пределом функции n-переменных $(y=f(\vec{x}))$, при $\vec{x} \to \vec{x_0}$, если для любой последовательности точек ${x^{(m)}}$, сходящаяся к точке $x_0$, последовательность значений функции последовательности ${f(x^{(m)})}$ будет сходиться к числу $a$.
Не найду особенности этого предела.
Заранее большое спасибо!

[Alexey1]

Дело в том, что для функции многих переменных предел может зависеть от того, по какой траектории Вы приближаетесь к точке. Например, если $f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$, то $\lim_{(x;y) \rightarrow (0;0)} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ не существует, так как если приближаться к точке $(0;0)$ по оси $x$ ($y=0$), то $f(x,y) \rightarrow 1, (x;y) \rightarrow (0;0)$. Если приближаться к точке по оси $y$ ($x=0$), то $f(x,y) \rightarrow -1, (x;y) \rightarrow (0;0)$.

[paha]

Alexey1 в сообщении #305474 писал(а):

для функции многих переменных предел может зависеть от того, по какой траектории

Предел, если он существует -- ни от чего не зависит, ведь в определении стоит квантор всеобщности

то, что Вы пытаетесь описать как феномен размерностей два и более, присутствует и в размерности 1: предел в точке слева и справа

-- Пт апр 02, 2010 00:17:11 --

Nogin Anton в сообщении #305462 писал(а):

Не найду особенности этого предела.

слово "особенность" тут непонятно... предел он и есть предел

[Nogin Anton]

Вопрос такой "В чём особенность предела функции нескольких переменных"

[Alexey1]

Nogin Anton в сообщении #305480 писал(а):

Вопрос такой "В чём особенность предела функции нескольких переменных"

Для установления предела функции одной переменной достаточно проверить равны ли левый и правый пределы функции в точке. Если равны, то функция имеет предел в точке. Для функции многих переменных количество траекторий которыми Вы можете приближаться к точке бесконечно, и поэтому найти предел уже не так просто как для функции одной переменной.

[paha]

(Оффтоп)

Вот! Его особенность в том, что его непросто найти!-)))

[VoloCh]

Nogin Anton в сообщении #305480 писал(а):

Вопрос такой "В чём особенность предела функции нескольких переменных"

Да это очередной дурацкий вопрос, типа "Необходмый признак сходимости ряда". Можно дать "почти" любой ответ и он будет верный. Особенность в том, что моск составителя коллоквиума слабо представдяет что такое "фунция нескольких переменных", а его интуиция, пролонгированная с одной переменной, перестает работать..

[ewert]

VoloCh в сообщении #305516 писал(а):

Да это очередной дурацкий вопрос, типа "Необходмый признак сходимости ряда".

"Необходимый признак сходимости ряда" -- термин вполне устойчивый и общепринятый, под ним все понимают одно и то же (другое дело, что грамотнее говорить не "признак", а "условие").

А вопрос про предел -- дурацкий безусловно.

[VoloCh]

ewert в сообщении #305519 писал(а):

"Необходимый признак сходимости ряда" -- термин вполне устойчивый и общепринятый,

... но, будучи устойчивым и общепринятым, все равно остается дурацким.

[paha]

VoloCh в сообщении #305553 писал(а):

но, будучи устойчивым и общепринятым, все равно остается дурацким

Утверждение, известное как "необходимый признак", можно сформулировать и доказать.
И у меня не хватает воображения сформулировать что-нибудь про

Nogin Anton в сообщении #305462 писал(а):

особенность предела функции нескольких переменных

что нужно было бы доказывать. Тем более, что особенность подразумевает, что есть что-то обычное.

[VoloCh]

paha в сообщении #305555 писал(а):

И у меня не хватает воображения сформулировать что-нибудь про

Наличие предела по направлению (одномерный) не влечет предела функции. Это полный аналог теоремы о том, что если общиий член не стремицца к нулю, то ряд не сходицца.