Т-ма Дьедонне-Шварца (про прямой-сопряженный операторы)

[id]

Ищется, где бы почитать (на русском или английском) про теорему Дьедонне-Шварца, а именно в которой доказывается, что для некоторого класса локально-выпуклых топологических векторных пространств равносильны
а) всюду плотность образа лин. непрерывного оператора
б) всюду плотность образа сопряженного к нему оператора
и
а) замкнутость образа лин. непрерывного оператора
б) инъективность сопряженного.

Впрочем, формулировку сейчас точную назвать не могу, но о чем идет речь понятно.

[maxmatem]

"Топологические векторные пространства"- автор Робертсон А, Робертсон В., там наверняка есть

[id]

Увы, у меня нет в этом уверенности.
То есть я сперва, прежде чем тут спрашивать, посмотрел и там, и у Шефера - но не нашел. Может, плохо искал? (прямая ссылка была бы интересна)

[VoloCh]

А в Данфорде-Шварце нету?

[nckg]

id в сообщении #302213 писал(а):

и
а) замкнутость образа лин. непрерывного оператора
б) инъективность сопряженного.

Вот это непохоже на правду. Можно взять нулевой оператор, его образ замкнут, а сопряжённый (который тоже - нулевой) инъективным не является.

К списку книг по ТВП, где искомая теорема может быть, могу добавить:
John L. Kelley, Isaac Namioka. Linear Topological Spaces.
Gotffried Kothe. Topological Vector Spaces.

Если найдёте теорему, буду благодарен за ссылку, мне интересно с ней ознакомиться:)

[id]

VoloCh
По-моему, нет. Но я не уверен.

nckg
В Кёте в оглавлении по крайней мере нет, посмотрю еще, повнимательнее.

Мне лично импликация a)$\to$б) не слишком нужна, а вот обратная нужна, для доказательства сюрективности оператора $M_F[G]$ в $H(\mathbb C)$

-- Чт мар 25, 2010 21:22:02 --

Я так понимаю, это "Ж. Дьёдонне и Л. Шварц. Двойственность в пространствах (F) и (LF)" во втором выпуске "Математики" 1958 года.

[id]

Хотя нет, не совсем то.

Вот ведь обидно, единственная пока что найденная ссылка на нужную теорему - в "Комплексный анализ и задача Коши для операторов свертки", но там именно что ссылка на всю статью Дьедонне-Шварца без комментариев!

[id]

Так, я все перепутал. Требовалось показать равносильность а) и б), в) и г):

а) замкнутость образа лин. непрерывного оператора
б) замкнутость образа сопряженного к нему оператора

в) всюду плотность образа лин. непрерывного оператора
г) инъективность сопряженного.

Считается, что исходное пространство - (F)-пространство.



Условия а) и б), кажется,частично рассматриваются в теореме в "Ж. Дьёдонне и Л. Шварц. Двойственность в пространствах (F) и (LF)" во втором выпуске "Математики" 1958 года на стр. 101:

Цитата:

Теорема 7:
Пусть $E$, $F$ - два пространства $(\mathcal F)$ и $u$ - непрерывный линейный оператор $E \to F$. Следующие предложения равносильны:
а) $u$ есть сильный гомоморфизм $E$ в $F$
б) $u$ есть слабый гомоморфизм $E$ в $F$
в) $u(E)$ замкнуто в $F$
г) $u'$ есть слабый гомоморфизм $F'$ в $E'$
д) $u'(F')$ слабо замкнуто в $E'$

[nckg]

Для F-пространств я похожее видел здесь:
BROWDER, F.E. Math. Annalen 138, 55--79 (1959)
Functional Analysis and Partial Differential Equations. I*
Могу выслать pdf-ку, если нужно. (напишите мыло в ЛС)

[id]

nckg
Да, интересно было бы взглянуть.

К задаче. Исходное пространство - $(F)$. Вот про это:

Цитата:

в) всюду плотность образа лин. непрерывного оператора
г) инъективность сопряженного.

есть некоторые соображения, г) $\Rightarrow$ в).
Пусть $T^*$ имеет тривиальное ядро, $L:=$ замыкание $Im \ T$ - собственное подпространство. Как обычно, $<Tx,y>=<x,T^* y>$.
Если мы построим непрерывный линейный ненулевой функционал $\bar y$, обращающийся в $0$ на $L$, то задача решена, поскольку в ЛВП линейная форма, определенная и непрерывная на подпространстве, имеет непрерывное продолжение, которое мы и возьмем в к-ве $y$ (получаем, что $\forall x \ <x,T^* y>=0$, что означает, что $y \in Ker \ T^*$ в силу двойственности).
Осталось его построить. Для нормированных пространств такое построение известно.
Т.к. топология задается семейством преднорм $\{p_n\}_n$ мы можем построить лин. форму, непрерывную относительно заданной преднормы. Ну а для непрерывности ф-ла в полинормированной топологии этого достаточно.
Впрочем, тут я предположил, что в данном полинормированном пр-ве Фреше есть преднорма, являющаяся нормой, а это еще вопрос.
В остальном - верно ли? и что делать с этим неприятным местом?
А в обратную сторону как?

[id]

Добавление по поводу эквивалентности

Цитата:

а) замкнутость образа лин. непрерывного оператора
б) замкнутость образа сопряженного к нему оператора

Это вроде как в самом деле есть у Шефера (7.7 глава IV стр. 204), но, увы, все в той же самой большой и сложной теореме из шести эквивалентных утверждений, из которых меня интересуют только два.

[nckg]

id в сообщении #305164 писал(а):

есть некоторые соображения, г) $\Rightarrow$ в).
Пусть $T^*$ имеет тривиальное ядро, $L:=$ замыкание $Im \ T$ - собственное подпространство. Как обычно, $<Tx,y>=<x,T^* y>$.
Если мы построим непрерывный линейный ненулевой функционал $\bar y$, обращающийся в $0$ на $L$, то задача решена, поскольку в ЛВП линейная форма, определенная и непрерывная на подпространстве, имеет непрерывное продолжение, которое мы и возьмем в к-ве $y$ (получаем, что $\forall x \ <x,T^* y>=0$, что означает, что $y \in Ker \ T^*$ в силу двойственности).
Осталось его построить. Для нормированных пространств такое построение известно.
Т.к. топология задается семейством преднорм $\{p_n\}_n$ мы можем построить лин. форму, непрерывную относительно заданной преднормы. Ну а для непрерывности ф-ла в полинормированной топологии этого достаточно.
Впрочем, тут я предположил, что в данном полинормированном пр-ве Фреше есть преднорма, являющаяся нормой, а это еще вопрос.
В остальном - верно ли? и что делать с этим неприятным местом?
А в обратную сторону как?

Хм... я раньше думал, что Хан-Банах есть только в локально-выпуклых пространствах, а недавно в Kothe на стр. 86 вот что обнаружил:

Думаю, что Ваши рассуждения с использованием (1') (возьмите замыкание образа оператора в качестве F) пройдут.

-- Чт апр 01, 2010 15:06:22 --

id в сообщении #305135 писал(а):

А в обратную сторону как?

Лемма 1. Пусть $T\colon X\to Y$ --- линейное отображение, $X$, $Y$ --- линейные пространства.
Пусть $\langle X,\hat X \rangle$ и $\langle Y, \hat Y \rangle$ --- дуальные пары, $\hat T\colon \hat Y\to \hat X$ --- сопряжённое линейное отображение.
Тогда $N(\hat T) = R(T)^\perp$.

(Здесь $N(\cdot)$ и $R(\cdot)$ --- ядро и образ, $\cdot^\perp$ --- аннулятор)

Доказывается проверкой следующих двух утверждений: $N(\hat T) \subset R(T)^\perp$, $N(\hat T) \supset R(T)^\perp$.

Лемма 2. (Kothe на стр. 87)


Теорема 1. Пусть $T\colon X\to Y$ --- линейное непрерывное отображение ЛТП (линейное топологическое пространство) $X$ в ЛТП $Y$, $T^*\colon Y^*\to X^*$ --- сопряжённое отображение.
Тогда $\overline{R(T)} = N(T^*)^\perp$.

Доказательство. По лемме 2 и лемме 1
$\overline{R(T)} = R(T)^{\perp\perp} = (R(T)^\perp)^\perp=N(T^*)^\perp$

[Padawan]

nckg в сообщении #305285 писал(а):

Хм... я раньше думал, что Хан-Банах есть только в локально-выпуклых пространствах, а недавно в Kothe на стр. 86 вот что обнаружил:

Читайте книжки внимательнее, а не вырывайте из контекста отдельные куски. Кёте рассматривает в этом параграфе только ТВП над дискретным полем, у которых базис окрестностей нуля состоит из линейных подпространств. Короче ТВП очень специального вида. А то я уж было испугался.

Стр. 83

Цитата:

A topological vector space over a discrete
field, with a topology which is linear in the sense of 1., is called a
linearly topologized space.

[nckg]

(Оффтоп)

Хм, ну он и намудрил (я думал, что это - стандартный термин). Придётся теперь, встретив слово "вектор", искать в книжке определение этого слова

С учётом замечания Padawan в лемме 2 и теореме 1 линейные топологические пространства $X$ и $Y$ считать локально выпуклыми.

Доказательство леммы 2 для этого случая:
по следствию из теоремы о биполяре с учётом того, что $F$ и $F^\perp$ - линейные подпространства,
а аннулятор и поляра линейного подпространства совпадают, получаем $\overline F = F^{\circ\circ}=F^{\perp\circ}=F^{\perp\perp}$.

[id]

nckg
Полезно оказалось, спасибо!

Маленький вопросик по поводу простого случая эквивалентности

Цитата:

а) замкнутость образа лин. непрерывного оператора
б) замкнутость образа сопряженного к нему оператора

для банаховых пространств.

Нельзя ли придумать простое доказательство исходя из того, что
1) оператор $u$ - топологический изоморфизм $\Leftrightarrow$ оператор $u^*$ - топологический изоморфизм.
2) образ $u$ замкнут $\Leftrightarrow$ ассоциированый к $u$ оператор (который определяется на фактор-пространстве по $Ker \ u$) есть топологический изоморфизм.
(возможно, следует учесть еще и то, что ядро $u^*$ - в точности функционалы, обращающиеся в ноль на $Im \ u$ и как-то приделать сюда коограничение)