Разбирая механику

[bigarcus]

по Ландау.
почему $L=T-U=inv$ , а $H=T+U неинв$ ?

[iig]

Сложный вопрос!
В детстве, разбирая игрушки, понятия не имел о Лагранжиане или Гамильтоне, который придумал кватернионы, зато я изобрел Вечный двигатель - это когда большая шестеренка крутит малую, а та другую большую и т.д.
Желаю Вам успехов в этом направлении.

[myhand]

bigarcus в сообщении #305323 писал(а):

почему $L=T-U=inv$ , а $H=T+U неинв$ ?

Что такое "inv" и "неинв" в контексте Вашего вопроса?

[bigarcus]

зачем про кватернионы написали?

лагранжиан сохраняется (является инвариантом), а гамильтониан - нет

[myhand]

bigarcus в сообщении #305396 писал(а):

лагранжиан сохраняется (является инвариантом),

Что это значит?

bigarcus в сообщении #305396 писал(а):

а гамильтониан - нет

А это почему? Что значит "не сохраняется" или "не является инвариантом"? Вот энергия замкнутой системы в классической механике - запросто сохраняется. А это как раз гамильтониан.

[bigarcus]

лагранжиан не изменяется относительно сдвига по времени

гамильтониан разный в разных системах

-- Чт апр 01, 2010 20:25:06 --

физика элементарных частиц тоже подразумевается

[myhand]

bigarcus в сообщении #305407 писал(а):

лагранжиан не изменяется относительно сдвига по времени

Что Вы под этим подразумеваете?

bigarcus в сообщении #305407 писал(а):

гамильтониан разный в разных системах

Вопрос аналогичный. Вопрос второй - насколько разный?

Расскажите подробнее. Что Вы далаете и что у Вас после чего и чему равно.

bigarcus в сообщении #305407 писал(а):

физика элементарных частиц тоже подразумевается

Вы считаете, что это дает какую-то дополнительную информацию?

[iig]

А вот я считаю Лагранжиан вторичным понятием, который устанавливается после выбора основного закона взаимодействия частицы с полем.
Основным, по-моему, являются законы сохранения или другие принципы.
А что касается кватернионов то это действительно другая тема, но все-таки придумал их Гамильтон и позже Максвелл использовал для вывода своих уравнений.
Сейчас мало кто знает, что векторы Е и Н -это мнимые части кватернионов.

[В. Войтик]

bigarcus в сообщении #305323 писал(а):

по Ландау.
почему $L=T-U=inv$ , а $H=T+U неинв$ ?

При выборе другой ИСО гамильтониан действительно не инвариантен, но строго говоря не инвариантен и лагранжиан. Просто лагранжиан будет изменяться на полную производную по времени, которую можно отбросить. Таким образом создаётся впечатление об инвариантности лагранжиана.
Почему? Это сложный вопрос. Правильный ответ наверное будет таким.
Просто так устроена природа.

[bigarcus]

В. Войтик, спасибо!!!

А почему у лагранжиана можно отбросить полную производную по времени, а у гамильтониана нельзя?
Меня так сильно смущает единственная разница в знаке!

<<Таким образом создаётся впечатление об инвариантности лагранжиана.>>
Впечатление? Так он инвариант или нет? Математически-то инвариант, получается.

[myhand]

bigarcus в сообщении #305965 писал(а):

А почему у лагранжиана можно отбросить полную производную по времени, а у гамильтониана нельзя?

У гамильтониана самого по-себе - есть физический смысл. Это энергия системы. Она разная, конечно, в классической механике - для разных ИСО ($H'$, $\vec P'$ - полная энергия и импульс в движущейся со скоростью $\vec V$ штрихованной ИСО, $M$ - сумма масс частиц):

$$H=H'+{\vec V}\cdot {\vec P'} + M {\vec V}^2 / 2$$

Так что если говорить об уравнениях движения - для них никакой разницы между $H$ и $H'$. Как и в случает лагранжиана.

Для того, чтобы понять, чему соответствует произвол в выборе лагранжиана для соответствующего гамильтониана - проделайте следующее упражнение. Покажите, чему будет равны канонические импульсы, после добавления к лагранжиану полной производной $d/dt$ от $f(t,q)$. Как изменится гамильтониан после такой добавки?