А почему у лагранжиана можно отбросить полную производную по времени, а у гамильтониана нельзя?
У гамильтониана самого по-себе - есть физический смысл. Это энергия системы. Она разная, конечно, в классической механике - для разных ИСО (
,
- полная энергия и импульс в движущейся со скоростью
штрихованной ИСО,
- сумма масс частиц):
Так что если говорить об уравнениях движения - для них никакой разницы между
и
. Как и в случает лагранжиана.
Для того, чтобы понять, чему соответствует произвол в выборе лагранжиана для соответствующего гамильтониана - проделайте следующее упражнение. Покажите, чему будет равны канонические импульсы, после добавления к лагранжиану полной производной
от
. Как изменится гамильтониан после такой добавки?