топологический вопрос

[Руст]

Существует ли многообразие с конечной некоммутативной фундаментальной группой?

[Юстас]

Да, существует. Примеры есть среди узлов в $R^3$ - непрерывных вложений окружности в $R^3$. Если взять узел-"трилистник", то существует гомоморфизм его фундаментальной группы на группу симметрий правильного треугольника, в которой 6 элементов:3 поворота и 3 отражения. Если бы фундаментальная группа была коммутативной, то и ее образ при гомоморфизме был коммутативной, но это не так.

[Руст]

Любой узел изоморфен окружности, соответственно его фундаментальная группа Z.

[Юстас]

Руст писал(а):

Любой узел изоморфен окружности, соответственно его фундаментальная группа Z.

Это так, если узел можно развязать.

[Руст]

Нет любой узел как одномерное многообразие есть окружность. В теории узлов описывается разные вложения окружности в трёхмерное пространство. И два вложения изоморфны, если их дополнения в трёхмерное пространство изоморфны. У дополнений фундаментальная группа так же бесконечная.

[Юстас]

Как топологические пространства узел и окружность гомеоморфны, узлы "различают" по фундаментальным группам их дополнений до $R^3$, поэтому я ошибся, говоря о фундаментальной группе самого узла в предыдущих постах, однако же для дополнения узла-трилистника всё сказанное выше про группу симметрий верно.

[Руст]

Как я уже говорил, фундаментальная группа дополнения так же бесконечная группа. Я не против, что группа симметрий треугольника является факторгруппой его фундаментальной группы. Однако это не решает задачу.

[Юстас]

Насколько известно мне, фундаментальной группой называется множество классов эквивалентности завкнутых путей с началом и концом в фиксированной точке Х, на которых введена структура перемножения классов. Как следует из данного определения, группа G(x) зависит от точки, однако, если пространство линейно связно, то G(x) и G(y) изоморфны. Поэтому группа симметрий треугольника будет именно фундаментальной группой.

[Руст]

Намотайте на узел k раз, так и останется k раз намотанным, т.е. группа бесконечная.

[Юстас]

Имеется в виду дополнение узла до $R^3$. Возможно, сказывается отсутствие рисунков, но я пример придумал не сам, а взял из книги и университетских лекций.

[Руст]

Но я ничего не понял, какой пример вы придумали.

[Юстас]

Да, в моем примере(дополнение узла-трилистника) фундаментальная группа действительно бесконечна, почему-то я сразу это не понял. Кстати, Вы знаете верный ответ? То есть, стоит ли вообще искать пример?

[Руст]

Вообще то я знаю только единственную нетривиальную конечную фундаментальную группу Z2, которая бывает у проективных пространств. Известно, что у топологических групп фундаментальная группа коммутативна. Если удастся эту группу факторизовать так, чтобы получилось конечное накрытые получим только конечную абелеву группу в качестве фундаментальной группы. А некоммутативной конечной фундаментальной группы думаю не бывает, хотя я не встречал никакого упоминания о таком факте.

[Юстас]

Рассмотрим $S^3=\{a+bi+cj+dk|a^2+b^2+c^2+d^2=1\}$-группу единичных кватернионов. Рассмотрим некоммутативную группу $G$, порожденную элементами $1,\ i,\ j$. Теперь рассмотрим фактор-пространство $S^3/G$. $\pi_1(S^3/G)=G$.

[Руст]

Да, я упустил, что у смежных классов (по не нормальной дискретной подгруппе), являющихся уже не группами, может быть некоммутативная фундаментальная группа.
А всё таки интересно, какие конечные группы могут быть реализованы как фундаментальные группы многообразий, а какие нет.