Несобственный интеграл

[evg]

Проверьте, пожалуйста, решение:
$ \int\limits_0^{2} \frac 1 {\sqrt[3] {(x^3-8)}} dx $ Я рассмотрел функцию: $\frac 1 {\sqrt[3] {12(x-2)}}$.

$$ \int\limits_0^{2} \frac 1 {\sqrt[3] {12(x-2)}}} dx=\lim_{a\to 0}(\int\limits_0^{2-a} \frac 1 {\sqrt[3] {12(x-2)}}} d(x-2))=\lim_{a\to 0} \frac {3(x-2)^{2/3}} {2\sqrt[3] 12}}|\limits_0^{2-a}=$$

$$\lim_{a\to 0} \frac {3} {2\sqrt[3] {12}}((2-a-2)^{2/3}-(-2)^{2/3})=\lim_{a\to 0} \frac {3} {2\sqrt[3] {12}}((-a)^{2/3}-(-2)^{2/3})=\frac {-3 \cdot (-2)^{2/3}} {2\sqrt[3] {12}} $$

Этот интеграл сходится, а следовательно и сходится первоначальный интеграл, т.к. их отношение равно единице.

от модератора AD:

Категорически прошу здесь и далее разбивать на кусочки длинные формулы, потому что много у кого они просто в экран не влезают
(вот у меня всего 1366 точек, и уже кошмарики)

[Alexey1]

Ответ правильный, только использованный Вами признак сходимости обычно используется для положительных подынтегральных функций. В Вашем случае это не так. Можно доказать абсолютную сходимость интеграла из которой и будет следовать сходимость интеграла.

[paha]

их отношение не равно единице

но поступили Вы правильно

интеграл имеет в точке $t=2-x$ особенность вида $\int^0\frac{dt}{t^{1/3}}$


"правильное" доказательство того, что интеграл сходится, выглядело бы так:

$$ 0\ge \int\limits_0^{2} \frac 1 {\sqrt[3] {(x^3-8)}} dx\ge \frac{1}{\sqrt[3]{12}} \int\limits_0^{2}\frac{dx}{\sqrt[3]{x-2}}\ge\cdots $$

[Alexey1]

paha в сообщении #305155 писал(а):

"правильное" доказательство того, что интеграл сходится, выглядело бы так:

$$ 0\ge \int\limits_0^{2} \frac 1 {\sqrt[3] {(x^3-8)}} dx\ge \frac{1}{\sqrt[3]{12}} \int\limits_0^{2}\frac{dx}{\sqrt[3]{x-2}}\ge\cdots $$

Значения полученное после вычисления интеграла будет комплексным числом, поэтому с нулём сравнивать нельзя.

[paha]

Alexey1 в сообщении #305161 писал(а):

Значения полученное после вычисления интеграла будет комплексным числом,

не верьте матлабу и вольфраму)))
в теме "сходимость интегралов" никаких комплексных чисел нет.. $\sqrt[3]{-1}=-1$, бесальтернатиф

-- Чт апр 01, 2010 02:32:01 --

Alexey1 в сообщении #305161 писал(а):

Значения полученное после вычисления интеграла будет комплексным числом, поэтому с нулём сравнивать нельзя.

если уж вам очень хочется, можно и так

$$ \left| \int\limits_0^{2} \frac 1 {\sqrt[3] {(x^3-8)}} dx\right|\le \frac{1}{\sqrt[3]{4}} \left|\int\limits_0^{2}\frac{dx}{\sqrt[3]{x-2}}\right|=\cdots $$

[/quote]

хотя... тогда и $\sqrt[3]{1}$ придется не действительным числом считать... а сразу тремя комплексными)))

[Alexey1]

paha в сообщении #305163 писал(а):

в теме "сходимость интегралов" никаких комплексных чисел нет.. $\sqrt[3]{-1}=-1$, бесальтернатиф

То есть Вы хотите сказать, что $\int_{0}^{2}\frac{1}{\sqrt[3]{x^3-8}}dx=(-1)^{\frac{1}{3}}\int_{0}^{2}\frac{1}{\sqrt[3]{8-x^3}}dx \leq 0$?

[paha]

Alexey1 в сообщении #305165 писал(а):

То есть Вы хотите сказать, что $\int_{0}^{2}\frac{1}{\sqrt[3]{x^3-8}}dx=(-1)^{\frac{1}{3}}\int_{0}^{2}\frac{1}{\sqrt[3]{8-x^3}}dx \leq 0$?

Да, именно это. Пример на сходимость.

[Alexey1]

А в чём тогда разница с записью $(-1)^{\frac{1}{3}}\leq0$?

[paha]

Alexey1 в сообщении #305167 писал(а):

А в чём тогда разница с записью $(-1)^{\frac{1}{3}}\leq0$?

Разница чего с чем?

-- Чт апр 01, 2010 02:45:19 --

мы имеем дело явно с теорией интегрирования вещественных функций, поэтому Ваши придирки неактуальны

[Alexey1]

paha в сообщении #305168 писал(а):

Alexey1 в сообщении #305167 писал(а):

А в чём тогда разница с записью $(-1)^{\frac{1}{3}}\leq0$?

Разница чего с чем?

Разница записи $(-1)^{\frac{1}{3}}\int_{0}^{2}\frac{1}{\sqrt[3]{8-x^3}}dx \leq 0$ и записи $(-1)^{\frac{1}{3}}\leq0$? Как это понимать? Неположительное комплексное число?

[paha]

(Оффтоп)

хотел написать чему именно равно отношение интегралов, которое

evg в сообщении #305136 писал(а):

т.к. их отношение равно единице

и полез на Вольфрам получить численное значение

честно говоря я сам удивился когда уважаемый сервер дал в ответе невещественное число:^)

Это просто несовершенство вольфрама... В наше время никто бы и подумать не мог, что в ответе комплексное число

-- Чт апр 01, 2010 02:51:15 --

Alexey1 в сообщении #305169 писал(а):

Разница записи $(-1)^{\frac{1}{3}}\int_{0}^{2}\frac{1}{\sqrt[3]{8-x^3}}dx \leq 0$ и записи $(-1)^{\frac{1}{3}}\leq0$? Как это понимать? Неположительное комплексное число?

$\sqrt[3]{-1}=-1$... здесь НЕТ никаких мнимостей

-- Чт апр 01, 2010 02:54:57 --

ведь когда Вас в шестом классе просили решить уравнение $x^2+1=0$ Вы говорили "решений нет"... и это был правильный ответ

а на алгебре на первом курсе правильный ответ $x=\pm i$

Так же и в теме "сходимость интегралов"
$\sqrt[3]{-1}=-1$, а в ТФКП нужно указывать ветвь корня

[Alexey1]

Просто автор сообщения не правильно написал и имел ввиду предел отношения подынтегральных функций. Именно по этой причине он и использовал 12 в знаменателе (хотя это не обязательно). А так чтобы вычислить отношение интегралов, надо их вычислить а это и требуется сделать.

[paha]

Alexey1 в сообщении #305171 писал(а):

А так чтобы вычислить отношение интегралов, надо их вычислить а это и требуется сделать.

Не требовалось вычислять отношений никаких, и сам интеграл не требовалось вычислять. Только сказать "сходится", или "расходится"

Пользуйтесь мат. пакетами с умом

[ewert]

paha в сообщении #305155 писал(а):

"правильное" доказательство того, что интеграл сходится, выглядело бы так:

$$ 0\ge \int\limits_0^{2} \frac 1 {\sqrt[3] {(x^3-8)}} dx\ge \frac{1}{\sqrt[3]{12}} \int\limits_0^{2}\frac{dx}{\sqrt[3]{x-2}}\ge\cdots $$

А ещё более правильное выглядело бы так. В подобных задачах обязательно следует заметить, что особая точка (т.е. в которой подынтегральная функция нехороша) -- это двойка и сделать соответствующую замену $x=t+2$. Тогда

$$\int\limits_{t=-2}^0{dt\over\sqrt[3]{(t+2)^3-8}}=\int\limits_{-2}^0{dt\over\sqrt[3]{t^2+6t+12}\cdot\sqrt[3]{t}}.$$

В последнем знаменателе первый сомножитель ограничен некоторой константой как сверху, так и снизу (нет, даже не из-за дискриминанта, а просто потому, что никаких других корней, кроме двойки, у исходного многочлена нет). Поэтому сходимость исходного интеграла равносильна сходимости интеграла от $t^{-{1\over3}}$. О знаках можно даже и не задумываться -- достаточно того, что функция знакопостоянна. Хуже того: достаточно, что она знакопостоянна в окрестности особой точки.

[paha]

paha в сообщении #305155 писал(а):

интеграл имеет в точке $t=2-x$ особенность вида $\int^0\frac{dt}{t^{1/3}}$

ewert в сообщении #305191 писал(а):

Поэтому сходимость исходного интеграла равносильна сходимости интеграла от $t^{-{1\over3}}$