Равномощность отрезков

[Marina]

Чисто для себя попробую, что-нибудь ещё.

[Maslov]

Marina в сообщении #304774 писал(а):

$\frac{1}{100}, 0,\frac{1}{\pi}$, а $\frac{99}{100}\to\frac{100}{102}$

Marina,
Объясните, пожалуйста, по какому правилу Вы определили, что точке $\frac {99} {100}$ полуинтервала соответствует точка $\frac {100} {102}$ отрезка?

[ИСН]

Ой, да, пропустил. Это как это?

[Marina]

Ошибка с моей стороны. $\frac{99}{100}\to\frac{99}{100}$

[ewert]

Да, 14 -- это, действительно, тоже мало...

[Maslov]

Marina в сообщении #304882 писал(а):

Ошибка с моей стороны. $\frac{99}{100}\to\frac{99}{100}$

Т.е., сама в себя?
Это по какому правилу?
Обратите внимание: $\frac {99} {100} = \frac {99}{99+1}$
Или, чтоб уж совсем все стало понятно: $\frac {99} {100} = \frac {98+1}{98+2}$

-- Ср мар 31, 2010 14:10:18 --

(Оффтоп)

ewert в сообщении #304883 писал(а):

Да, 14 -- это, действительно, тоже мало...

И это не предел: мы еще не закончили.

[Marina]

$\frac {99}{99+1}\to \frac {99+1}{99+2}$

[Maslov]

Почему?

[Marina]

Вы же в одном из постов писали, что точка вида $\frac{n}{n+1}\to\frac{n+1}{n+2}$

[Maslov]

Сейчас не важно, что писал я. Важно, что писали Вы. А писали Вы следующее:

Marina в сообщении #304811 писал(а):

1. Прямое отображение$[0;1]\to[0;1)$: каждая точка вида$\frac{n}{n+1}$, где $(n\in \mathbb N)$ переходит в точку$\frac{n+1}{n+2}$ полуинтервала ; $0\to 0$;$1\to\frac{1}{2}$,все остальные точки "остаются на месте";

2. Обратное отображение$[0;1)\to[0;1]$: каждая точка вида$\frac{n+1}{n+2}$, где $(n\in\mathbb N)$ переходит в точку$\frac{n}{n+1}$ отрезка ; все остальные точки "остаются на месте";

А я Вас спрашивал: какая точка отрезка $[0, 1]$ соответствует точке $\frac {99} {100}$ полуинтервала $[0, 1)$?

-- Ср мар 31, 2010 20:16:10 --

Если Вам что-то непонятно, лучше спросите.

[Marina]

Тогда так:$\frac {99}{100}\to \frac{98}{99}$. Но Вы же не обозначили, что точка $\frac{99}{100}$- точка полуинтервала.

[Maslov]

Ну да. А в чем противоречие?
В построенной Вами биекции точке $\frac {98} {99}$ отрезка соответствует точка $\frac {99} {100}$ полуинтервала. Значит точке $\frac {99} {100}$ полуинтервала соответствует точка $\frac {98} {99}$ отрезка.

Тут что-то непонятно?

[Marina]

Maslov Но если бы точка $\frac{99}{100}$ была бы точкой отрезка, тогда ей бы соответствовала точка $\frac{100}{101}$ полуинтервала? Или нет?

[Maslov]

Ну и хорошо.

В качестве упражнения попробуйте для себя доказать равномощность отрезка $[0, 1]$ и интервала $(0, 1)$. Там идея та же, но немного сложнее (за счет того, что отрезок в этом случае содержит не одну непарную точку, а две).

[Marina]

1. Прямое отображение$[0;1]\to(0;1)$: каждая точка вида$\frac{1}{n}$, где $(n\in \mathbb N)$ переходит в точку$\frac{1}{n+2}$ интервала ; $0\to \frac {1}{2}$,все остальные точки "остаются на месте";

2. Обратное отображение$(0;1)\to[0;1]$: каждая точка вида$\frac{1}{n+2}$, где $(n\in\mathbb N)$ переходит в точку$\frac{1}{n}$ отрезка ; все остальные точки "остаются на месте";