Вычислить тригонометрический пример:

[amonrah]

gris в сообщении #304932 писал(а):

А нельзя от $\sin 20^{\circ}$ отнять $\sin 100^{\circ}$?
В глаза бросится их полусумма, полуразность и косинус шестидесяти градусов.
Но ewert запретил помнить все формулы, кроме косинуса двойного угла

$ ^{\odot}60^{\odot}$

честно признаюсь, что не понимаю как так просто отнять можно??? мне же их значения не известны, ну или по крайней мере формула по которой отнять можно.

$sin(20°)-sin(100°)$???

[gris]

Формула разности синусов двух углов. Такая есть. Это удвоенное произведение функции полусуммы на функцию полуразности. А вот какие это функции я в упор не помню, но смекаю, что косинус и синус, судя по ответу. И минус вереди, это да.

[amonrah]

gris в сообщении #304939 писал(а):

Формула разности синусов двух углов. Такая есть. Это удвоенное произведение функции полусуммы на функцию полуразности. А вот какие это функции я в упор не помню, но смекаю, что косинус и синус, судя по ответу. И минус вереди, это да.

Есть такая :)... Но не ужели эту задачу нельзя решить проще, скажем я ещё даже не дошёл до темы где дана формула разности синусов?

$\sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha \pm \beta}{2} \cos \frac{\alpha \mp \beta}{2}$

[gris]

Куда уж проще?
Ну можно жонглировать с двойными углами, использовать формулы приведения, различные разложения 100 в сумму углов.
Например, $\sin 100^{\circ}=\sin 80^{\circ}=2\sin 40^{\circ}\cos 40^{\circ}$
Пилите Пробуйте. В одной задаче одно разложение поможет, в другой другое. Заранее не угадаешь.

[amonrah]

вот это и был логический шаг к решению задачи: $sin(100°)=sin(80°)$ спасибо.

Этот пример ставился по оглашению человеку ещё ничего не с ведующему о формуле разности синусов.

[gris]

Ясненько. Тогда уж и $\sin 20^{\circ}=\sin 160^{\circ}=2\sin 80^{\circ}\cos 80^{\circ}$
Вдруг оно?

[ewert]

amonrah в сообщении #304957 писал(а):

ещё ничего не с ведующему о формуле разности синусов.

а это ещё один якорь. Я, между прочим, тоже не помню наизусть никаких формул для сумм/разностей синусов/косинусов. Но зато твёрдо помню формулы для наоборот синуса/косинуса суммы/разности. Из которых те, предыдущие -- на лету выводятся. При необходимости.

[gris]

Самое интересное, что пример действительно решается только с помощью формул двойного угла, единицы и приведения синуса! Никаких сумм!
Слава Великому!

[amonrah]

В общем привожу окончательное решение примера над которым пришлось попотеть :):

$sin(20°) + 2*sin(40°) - sin(100°) = 2*sin(40°) + sin(20°) - sin(60°)*cos(40°)-sin(40°)*cos(60°) = 2*sin(40°) + sin(60°-40°) - sin(60°)*cos(40°)-sin(40°)*cos(60°) = 2*sin(40°) + sin(60°)*cos(40°)-sin(40°)*cos(60°) - sin(60°)*cos(40°)-sin(40°)*cos(60°)= 2*sin(40°) - 2*sin(40°)*cos(60°)= 2*sin(40°)*(1-cos(60°))= 2*sin(40°)*(1-\frac{1}{2})= 2*sin(40°)*(\frac{1}{2}) = sin(40°) $

[amonrah]

здравствуйте, и снова я :)...

Есть такой примерчик, сказано вычислите:


$16*cos20*cos40*cos60*cos80$

Как я понимаю, нужно раскласть его так, что бы в остатке были одни стандартные углы, но с этим как то проблемы, у кого какая идея как проще всего решить? (кроме как на калькулятре) :)???

[RIP]

Домножить на $\sin20^\circ$, поупрощать, а потом обратно разделить на $\sin20^\circ$.

[amonrah]

RIP в сообщении #305705 писал(а):

Домножить на $\sin20^\circ$, поупрощать, а потом обратно разделить на $\sin20^\circ$.

Благодарю, и как я сам до этого не додумался, видно не так уж и очевидно..

Только умножаем не на $sin20$ а на $sin80$ тогда:


$16*cos(60°)*cos(20°)*cos(40°)*cos(80°) \| * \frac{sin(80°)}{sin(80°)} = $

$\frac{16*cos(60°)*cos(20°)*cos(40°)*cos(80°)*sin(80°)}{sin(80°)} = $

$\frac{8*cos(60°)*cos(20°)*cos(40°)*sin(20°)}{sin(80°)} = $

$\frac{4*cos(60°)*cos(40°)*sin(40°)}{sin(80°)} = $

$\frac{2*cos(60°)*sin(80°)}{sin(80°)} = 1 $

[RIP]

amonrah в сообщении #305716 писал(а):

Благодарю, и как я сам до этого не додумался, видно не так уж и очевидно..

Ну да, самому до такого додуматься не так уж и просто.

amonrah в сообщении #305716 писал(а):

Только умножаем не на $sin20$ а на $sin80$ тогда:

Да один фиг в данном случае, хоть на $\sin40^\circ$: они просто по кругу пробегутся, и всё равно все посокращаются. Просто домножение на наименьший синус наиболее логично (ср. с $\prod_{k=0}^{n-1}\cos2^k\alpha$).

[amonrah]

Здравствуйте, пытаюсь доказать, что нижеприведённый пример равен тангенсу двойного угла,

$\frac{sin(2\alpha)+sin(5\alpha)-sin(\alpha)}{cos(2\alpha)+cos(5\alpha)+cos(\alpha)}=tg(2\alpha)$

упростил его до такой вот степени и застрял, никак не могу пойти дальше, пытался разделить числитель и знаменатель на $cos^5(\alpha)$, но не к чему хорошему это не привело, каков тут следующий шаг?

$\frac{sin^5(\alpha)-10*sin^3(\alpha)*cos^2(\alpha)+5*sin(\alpha)*cos^4(\alpha)+2*sin(\alpha)*cos(\alpha)-sin(\alpha)}{cos^5(\alpha)-10*cos^3(\alpha)*sin^2(\alpha)+5*cos(\alpha)*sin^4(\alpha)+cos^2(\alpha)-sin^2(\alpha)-cos(\alpha)}$

[ИСН]

Эту штуку не стоило развинчивать сразу, потому что теперь хрен соберёшь. Надо было примерно так. Сумма трёх синусов - нет такой формулы, а что есть? Сумма (или разность) двух синусов. Каких двух? Каких-то. Что будет, если скрестить 1 и 5? Будет 2 и 3. А там рядом ещё 2, может, получится красиво. Ну-ка, ну-ка...