Неравенство, содержащее корни из чисел

[Droog_Andrey]

Задачка, собственно, для школьников 8-9 класса.

Доказать без помощи калькулятора и громоздких вычислений, что $\sqrt[8]{5}\sqrt[3]{35}>4$.

В своё время я нашёл вот такой, достаточно длинный, способ решения:

(Оффтоп)

1) приводим неравенство к виду $\sqrt[8]{125} > \frac{64}{35}$
2) доказываем $\sqrt{125} > 11(1+\frac{1}{61})$
3) доказываем $\sqrt{\frac{682}{61}} > 3\cdot\frac{681}{611}$
4) доказываем $\frac{64^2-10}{35^2-3} > \frac{64^2}{35^2}$

Существует ли более короткое/красивое доказательство?

[arqady]

Droog_Andrey в сообщении #304083 писал(а):

Задачка, собственно, для школьников 8-9 класса.

Доказать без помощи калькулятора и громоздких вычислений, что $\sqrt[8]{5}\sqrt[3]{35}>4$.

Можно так: $5^3\cdot35^8>4^3\cdot\left(4^{\frac{5}{2}}\right)^8=4^{24}$

[ИСН]

Это 23.
Так не прокатит, там на самом деле очень близко.

[Maslov]

Действительно, совсем близко: 4.0000056

[arqady]

ИСН в сообщении #304446 писал(а):

Это 23.
там на самом деле очень близко.

Это первое, что надо было проверить.

[Droog_Andrey]

arqady в сообщении #304482 писал(а):

ИСН в сообщении #304446 писал(а):

Это 23.
там на самом деле очень близко.

Это первое, что надо было проверить.

Тем паче что иначе я бы вряд ли эту тему создавал

[Droog_Andrey]

А вот эту зубодробительную задачку мне решить не удалось:

доказать, что $\sqrt[9]{0.6}\sqrt[28]{4.9} < 1$.

[maikle]

Я думаю подвохов тут нет, а тупо на короткое вычисление рассчитана задача.

[ИСН]

Короткое, ога. Вы это число видели? Знаете, сколько там девяток?

[maikle]

ИСН

слово "короткое" лишнее, признаю

[covax]

Ха-ха!

[meduza]

covax
Вольфрам просто округлил. "More digits" в таких случаях полезно жать.

[vmg]

$\sqrt[9]{0,6}\sqrt[28]{4,9}<1\Leftrightarrow\sqrt[28]{\frac{49}{10}}<\sqrt[9]{\frac53}\Leftrightarrow$$\left(\frac{49}{10}\right)^9<\left(\frac53\right)^{28}\Leftrightarrow\left(\frac{49\cdot27}{10\cdot125}\right)^9<\frac53$.
В скобках конечная десятичная дробь (=1,0548). Можно возвести в 9 степень (4 умножения), шестой знак после запятой будет 5, а не 6, как справа.

[Sonic86]

Проверьте, пожалуйста!:
Как уже сказал vmg

$$\sqrt[9]{0,6}\sqrt[28]{4,9}<1 \Leftrightarrow \left( \frac{3^3}{5^3} \cdot \frac{49}{10} \right) < \frac{5}{3}$$

Дальше можно так:

$$\Leftrightarrow \left(1+\frac{73}{1250} \right)^9 < \frac{5}{3} \Leftrightarrow \left(1+\frac{73}{1250} \right)^{\frac{1250}{73}} < \left( \frac{5}{3} \right)^{\frac{1250}{587}}$$

Поскольку $\left(1+\frac{73}{1250})^{\frac{1250}{73}} < e$, то доказываемое следует из $e < \left( \frac{5}{3} \right)^{\frac{1250}{587}}$. Далее, $2+ \frac{1}{8} < \frac{1250}{587}$, поэтому доказываемое следует из $e < \left( \frac{5}{3} \right)^{2+\frac{1}{8}}$. Наконец, $e<2+\frac{3}{4}$, поэтому доказываемое следует из $2+\frac{3}{4} < (1+\frac{2}{3})^{2+\frac{1}{8}} \Leftrightarrow \frac{22}{25} < \left( 1+\frac{2}{3} \right)^{\frac{1}{8}}$

Ну если я что-то в чем-то понимаю, то смысл в том, чтобы как можно сильнее увеличить разрыв между сравниваемыми числами, пытаясь сохранить простоту описания. Ну а потом можно поискать более сильные, но простые посылки с божьей помощью с помощью Мапле.
Хотя я вот не знаю - зачем у меня число $e$, с удовольствием посмотрел бы на доказательство без него.

[venco]

Почти всё правильно, только в конце $\frac{99}{100}<(1+\frac 23)^{\frac 18}$, что не разрушает доказательство.
А первый замечательный предел наверняка нужен, я тоже про него подумал, но до конца не довёл.