объём тела

[werka]

Пожалуйста, помогите понять, как высчитывается объем тела ограниченный поверхностями, только не методом двойного интегрирования, целый день сижу, прочитала много учебников, ничего понять не могу. Вот задание: чему равен объём тела ограниченного поверхностями
$x^2+y^2=4y , z=-x^2+6 ,z=0$
и ещё
$x^2+y^2+z^2=4$ и $3z=x^2+y^2$
Я не могу привести попытки решения задач, потому что не понимаю сам ход решения!

[Toucan]

1. Наберите формулы в соответствии с Правилами форума: topic8355.html и topic183.html.
2. Приведите свои попытки решения задач.
А пока едем в Карантин.

[Toucan]

Возвращаемся.

werka, исправив тему в Карантине, разумнее было написать модератору лично или оставить сообщение в теме Сообщение в карантине исправлено (как это описано здесь: Карантин). А то можно было так там навсегда и остаться.

[VoloCh]

Без двойного интеграла ... надо просто понять, какие это тела и какой у них объем. Во втором примере, кажется, что это конус пересеченный шаром. То есть, надо сложить объем прямого кругового конуса и шарового сегмента. То есть вам надо определить параметры конуса (высоту, радиус основания), вспомнить школьную формулу... потом то же самое с сегментом...

[paha]

В первой задаче - цилиндр, параболический цилиндр и плоскость. Архимед бы смог без интегралов обойтись де-юре. И еще... в первой задаче вместо $4y$ можно написать просто $4$. Ответ не изменится.

werka в сообщении #304023 писал(а):

Я не могу привести попытки решения задач, потому что не понимаю сам ход решения!

Нельзя не понимать то, чего еще нет. Вероятно, Вы не поняли само условие.

[Sintanial]

VoloCh немного не правильно. Второе это вроде не конус а парабалоид вращения =)

[VoloCh]

Sintanial в сообщении #305654 писал(а):

VoloCh немного не правильно. Второе это вроде не конус а парабалоид вращения =)

Чего? Я таких слов не знаю. Параболоид? Вращения??

ээээ...

Впрочем, вы правы. Тогда я не знаю, как считать объем без двойного интегрирования....

А... знаю... "раз вращения" - то решаецца все однократным интегрированием. Вот.

[Sintanial]

Эллипти́ческий параболо́ид — поверхность, описываемая функцией вида

$2z = \dfrac {x^2}{a^2} + \dfrac {y^2}{b^2}$

где a и b одного знака. Поверхность описывается семейством параллельных парабол с ветвями, направленными вверх, вершины которых описывают параболу, с ветвями, также направленными вверх.

Если a = b то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину данной параболы.(Ваш случай)

Полная статья вот(Википедия) Парабалоид

Честно сказать я не представляю как можно найти объем данных фигур без двойного интеграла =)

[paha]

Sintanial в сообщении #305784 писал(а):

Честно сказать я не представляю как можно найти объем данных фигур без двойного интеграла

архимеду удавалось... но он интегральное исчисление и придумал) вот только о первообразных не знал ничего

[Padawan]

Если не двойной, так может тройной? Можно еще через поверхностный - через формулу Остроградского-Гаусса.

[VoloCh]

Sintanial в сообщении #305784 писал(а):

Эллипти́ческий параболо́ид — поверхность, описываемая функцией вида

$2z = \dfrac {x^2}{a^2} + \dfrac {y^2}{b^2}$

где a и b одного знака.

Долго думал, что будет, если они разного знака. Перерыл всю вашу википедию и на тринадцатом терабайте нашел ответ.

[ewert]

VoloCh в сообщении #305771 писал(а):

А... знаю... "раз вращения" - то решаецца все однократным интегрированием. Вот.

Э... не знаете... не решаецца -- цилиндр расположен несимметрично. Вот.

[vvvv]

Для втрой задачи искомый объем есть объединение двух тел вращения, получаемых от вращения вокруг оси oZ - дуги окружности и параболы, что находится элементарно

-- Сб апр 03, 2010 12:23:47 --

[vvvv]

В первой задаче нужно найти объем, высекаемый двумя цилиндрами и плоскостью.Вот как обойтись без кратного интегрирования не видно

[paha]

(Оффтоп)

VoloCh в сообщении #305849 писал(а):

на тринадцатом терабайте

седло на тринадцатом терабайте... это сильно

ewert в сообщении #305850 писал(а):

Э... не знаете... не решаецца -- цилиндр расположен несимметрично. Вот.

вместо $4y$ можно написать просто $4$. Ответ не изменится.