Знакочередующийся ряд, ск членов взять для заданной точности

[Ёж]

Сколько нужно взять членов ряда
$1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+...+\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}+...,$
чтобы вычислить его сумму с точностью до $0,01$?

Ряд знакочередующийся, следовательно, $|r_{n}|<a_{n+1}$. Поэтому для вычисления суммы ряда с точностью до $0,01$ надо потребовать $|r_{n}|<\frac{1}{(n+1)^2}\leq 0,01$. откуда получаем $n=9$. Но в книжке написано $n=10$?!

[ewert]

В книжке рассеянность.

Видимо, там имели в виду вот что. Если бы выражение было более сложным, то неравенство явно не решалось бы. Поэтому на практике надо просто накапливать сумму, контролируя величину текущего члена, и остановиться в тот момент, когда эта величина окажется не больше допустимой погрешности.

Тогда -- да, придётся считать десять членов. Ведь когда мы нашли девятый -- мы ещё не знаем, что десятый уже можно будет отбросить.

[Ёж]

ewert в сообщении #303484 писал(а):

Тогда -- да, придётся считать десять членов. Ведь когда мы нашли девятый -- мы ещё не знаем, что десятый уже можно будет отбросить.

Т.е. мы считаем десять членов, но десятый член можно не брать при вычислении суммы?

[ewert]

Ёж в сообщении #303677 писал(а):

Т.е. мы считаем десять членов, но десятый член можно не брать при вычислении суммы?

Можно, конечно. Но раз уж мы его уже посчитали -- то отчего ж и его тоже не учесть. Точность от этого уж как минимум не ухудшится.

[Ёж]

Спасибо!