предел последовательности

[daogiauvang]

Даны $x_1=1$, $x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_1+x_2+...+x_n}$.Вычислите: $\lim\frac{x_n}{\sqrt{\ln n}}$

[ewert]

Вычислить-то легко -- это корень из двух. Поскольку если $x_n\sim C\sqrt{\ln n}$, то $x_{n+1}-x_n\sim\dfrac{C}{2n\sqrt{\ln n}}$, в то время как сумма в знаменателе ведёт себя как $C\sum\limits_{k=1}^n\sqrt{\ln k}\sim C\int\limits_1^n\sqrt{\ln k}\,dk\sim C\,n\ln n$. Приравниваем, сокращаем $n\ln n$ и.

Вот доказать -- это уже некоторая морока. Можно попробовать так. Последовательность возрастает и потому оценивается снизу последовательностью $x_{n+1}=x_n+\dfrac{1}{n\,x_n}$. А поскольку она ещё и выпуклая, то оценивается сверху последовательностью $x_{n+1}=x_n+\dfrac{2}{n\,x_n}$. Последовательность $x_{n+1}=x_n+\dfrac{\alpha}{n\,x_n}$ при любом положительном $\alpha$ действительно имеет асимптотику $\sqrt{2\alpha\ln n}$, т.к. (пусть и тоже с некоторыми мучениями) формально сводится к дифференциальному уравнению $\dfrac{dx}{dn}=\dfrac{\alpha}{n\,x}$. И вот теперь, уже зная, что последовательность зажата между двумя логарифмами, мы можем оценить её сверху (при всех достаточно больших номерах) последовательностью $x_{n+1}=x_n+\dfrac{1+\varepsilon}{n\,x_n}$ со сколь угодно малым $\varepsilon>0$.

А ничего более простого почему-то в голову не приходит...