Вычислить-то легко -- это корень из двух. Поскольку если

, то

, в то время как сумма в знаменателе ведёт себя как

. Приравниваем, сокращаем

и.
Вот доказать -- это уже некоторая морока. Можно попробовать так. Последовательность возрастает и потому оценивается снизу последовательностью

. А поскольку она ещё и выпуклая, то оценивается сверху последовательностью

. Последовательность

при любом положительном

действительно имеет асимптотику

, т.к. (пусть и тоже с некоторыми мучениями) формально сводится к дифференциальному уравнению

. И вот теперь, уже зная, что последовательность зажата между двумя логарифмами, мы можем оценить её сверху (при всех достаточно больших номерах) последовательностью

со сколь угодно малым

.
А ничего более простого почему-то в голову не приходит...