Вычислить-то легко -- это корень из двух. Поскольку если
![$x_n\sim C\sqrt{\ln n}$ $x_n\sim C\sqrt{\ln n}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/b/cfb7418a057d8b129e17899addf45e1c82.png)
, то
![$x_{n+1}-x_n\sim\dfrac{C}{2n\sqrt{\ln n}}$ $x_{n+1}-x_n\sim\dfrac{C}{2n\sqrt{\ln n}}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/6/5d6911afb8b52f29c633a998ca0ea09082.png)
, в то время как сумма в знаменателе ведёт себя как
![$C\sum\limits_{k=1}^n\sqrt{\ln k}\sim C\int\limits_1^n\sqrt{\ln k}\,dk\sim C\,n\ln n$ $C\sum\limits_{k=1}^n\sqrt{\ln k}\sim C\int\limits_1^n\sqrt{\ln k}\,dk\sim C\,n\ln n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/5/fb595f73794f058f2dfb08cd164bfe8a82.png)
. Приравниваем, сокращаем
![$n\ln n$ $n\ln n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/6/286c2b9c0b2a11f9645f008a4d9b1fa282.png)
и.
Вот доказать -- это уже некоторая морока. Можно попробовать так. Последовательность возрастает и потому оценивается снизу последовательностью
![$x_{n+1}=x_n+\dfrac{1}{n\,x_n}$ $x_{n+1}=x_n+\dfrac{1}{n\,x_n}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/0/500ff89c4d4796e077b5564ca94d8e2282.png)
. А поскольку она ещё и выпуклая, то оценивается сверху последовательностью
![$x_{n+1}=x_n+\dfrac{2}{n\,x_n}$ $x_{n+1}=x_n+\dfrac{2}{n\,x_n}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/e/fee27feb1b8716c410f129cf19ac795282.png)
. Последовательность
![$x_{n+1}=x_n+\dfrac{\alpha}{n\,x_n}$ $x_{n+1}=x_n+\dfrac{\alpha}{n\,x_n}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/1/c11c6647d33c528b5b23df9aa4f2f17c82.png)
при любом положительном
![$\alpha$ $\alpha$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/4/c745b9b57c145ec5577b82542b2df54682.png)
действительно имеет асимптотику
![$\sqrt{2\alpha\ln n}$ $\sqrt{2\alpha\ln n}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/3/6b34efc28432e2de4252588b6f431fe482.png)
, т.к. (пусть и тоже с некоторыми мучениями) формально сводится к дифференциальному уравнению
![$\dfrac{dx}{dn}=\dfrac{\alpha}{n\,x}$ $\dfrac{dx}{dn}=\dfrac{\alpha}{n\,x}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/6/cf6a1ffaf5fc1a830e9d000b15a0aca982.png)
. И вот теперь, уже зная, что последовательность зажата между двумя логарифмами, мы можем оценить её сверху (при всех достаточно больших номерах) последовательностью
![$x_{n+1}=x_n+\dfrac{1+\varepsilon}{n\,x_n}$ $x_{n+1}=x_n+\dfrac{1+\varepsilon}{n\,x_n}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/7/9171dffad3494a09357294e0f1210d0882.png)
со сколь угодно малым
![$\varepsilon>0$ $\varepsilon>0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/5/155142dbd92bd0eebef1ec0d4453145582.png)
.
А ничего более простого почему-то в голову не приходит...