Степенной ряд

[ewert]

oleg-spbu в сообщении #302802 писал(а):

А $1^k$ - это ведь тоже неопределенность (при $k \to \infty$), как с ней разобраться?!

Какая там неопределённость -- в этом ведь месте точная единица, а не приближённая.

На одном конце ряд знакопостоянный. Примените признак сравнения, заменяя общий член на эквивалентную ему чистую степень.

На другом -- знакочередующийся. Примените признак Лейбница.

В последнем случае, правда, есть ньюанец. Надо ещё формально обосновывать монотонность (начиная с некоторого номера). Но от этого легко отмахнуться. Достаточно указать на то, что производная абсолютной величины общего члена по переменной $k$ -- это рациональная дробь и, следовательно, может обращаться в ноль лишь в конечном наборе точек. Т.е. и участков монотонности -- тоже не более чем конечное число. А значит, рано или поздно наступит монотонное убывание (раз уж есть стремление к нулю).

[oleg-spbu]

Спасибо!
Рассмотрим поведение ряда на концах интервала

1) $x=1$

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}\cdot (1-2)^k=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}\cdot (-1)^k$


Теперь по признаку Лейбница нужно исследовать сходимость

a) $\lim\limits_{k \to \infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}=\lim\limits_{k \to \infty}\dfrac{k^2(2 + 1/k^2)}{k^3(1 +2/k^3)}=\lim\limits_{k \to \infty}\dfrac{2 + 1/k^2}{k(1 +2/k^3)}=0$

б) Исследуем монотонность функции $f(k)= \dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}$

$f'(k)=\dfrac{4k(3\cdot k^3 +2)-9k^2({2\cdot k^2 + 1})}{(3\cdot k^3 +2)^2}=\dfrac{8k-9k^2-4k^4}{k(1 +2/k^3)}$

$f'(k)$ - это рациональная дробь и, следовательно, может обращаться в ноль лишь в конечном наборе точек. Т.е. и участков монотонности -- тоже не более чем конечное число. А значит, рано или поздно наступит монотонное убывание (раз уж есть стремление к нулю).

=> ряд сходится!

2) $x=3$

$$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}\cdot (3-2)^k=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}\cdot (1)^k=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2}{3\cdot k^3 +2}+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{3\cdot k^3 +2}$$

Рассмотрим ряд

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2}{3\cdot k^3 +2}$

$a_n=\dfrac{2\cdot k^2}{3\cdot k^3 +2}<\dfrac{2\cdot k^2}{3\cdot k^3}=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{k}$

Поэтому

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2}{3\cdot k^3 +2}<\dfrac{2}{3}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k}$

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k}$ расходится, тк это гармонический ряд.

Из расходимости $\dfrac{2}{3}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k}$

Следует расходимость $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2}{3\cdot k^3 +2}$
а, следовательно расходимость ряда

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}$

[ewert]

oleg-spbu в сообщении #302834 писал(а):

Рассмотрим ряд

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2}{3\cdot k^3 +2}$

Не обосновано. Вы необоснованно выкинули единичку из числителя.

Обосновать-то это, конечно, можно, но -- не нужно. Следует использовать не первый, а второй признак сравнения (тот, что насчёт эквивалентности).

Тем более, что первый Вы применили неверно (не в ту сторону неравенство).

[oleg-spbu]

Цитата:

Не обосновано. Вы необоснованно выкинули единичку из числителя

Я же разбил ряд на 2 суммы строчкой выше и начал рассматривать одну из них!!!

Цитата:

Тем более, что первый Вы применили неверно (не в ту сторону неравенство).

Разве неверно? Ведь - чем больше знаменатель, тем меньше дробь (для положительных дробей)

[ИСН]

Если один ряд меньше другого, а тот расходится, то этот что?

[ewert]

oleg-spbu в сообщении #302871 писал(а):

и начал рассматривать одну из них!!!

а вторую -- Пушкин будет рассматривать?...

oleg-spbu в сообщении #302871 писал(а):

Разве неверно? Ведь - чем больше знаменатель, тем меньше дробь

oleg-spbu в сообщении #302834 писал(а):

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2}{3\cdot k^3 +2}<\dfrac{2}{3}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k}$

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k}$ расходится, тк это гармонический ряд.

Из расходимости $\dfrac{2}{3}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k}$

Следует расходимость $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2}{3\cdot k^3 +2}$

Из расходимости большего ряда не следует расходимость меньшего. Всё в точности наоборот.

[oleg-spbu]

А, точно - все понял, спасибо всем вам)

2) $x=3$

$$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}\cdot (3-2)^k=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}\cdot (1)^k=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}$$

Сравним два ряда $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}$ и $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k}$

$$\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}:\dfrac{1}{k}=\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{k(2\cdot k^2 + 1)}{3\cdot k^3 +2}=\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{k^3(2 +1/k^2)}{k^3(3 +\dfrac{2}{k^3})}=\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{2 +\dfrac{1}{k^2}}{3+\dfrac{2}{k^3}}=\dfrac{2}{3}$$

Ряд $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k}$ расходится (гармонический ряд расходится). Тогда из
расходимости гармонического ряда следует расходимость $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}$

Ответ: Область сходимости степенного ряда $1<x \le 3$