2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Степенной ряд
Сообщение26.03.2010, 19:42 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
oleg-spbu в сообщении #302802 писал(а):
А $1^k$ - это ведь тоже неопределенность (при $k \to \infty$), как с ней разобраться?!

Какая там неопределённость -- в этом ведь месте точная единица, а не приближённая.

На одном конце ряд знакопостоянный. Примените признак сравнения, заменяя общий член на эквивалентную ему чистую степень.

На другом -- знакочередующийся. Примените признак Лейбница.

В последнем случае, правда, есть ньюанец. Надо ещё формально обосновывать монотонность (начиная с некоторого номера). Но от этого легко отмахнуться. Достаточно указать на то, что производная абсолютной величины общего члена по переменной $k$ -- это рациональная дробь и, следовательно, может обращаться в ноль лишь в конечном наборе точек. Т.е. и участков монотонности -- тоже не более чем конечное число. А значит, рано или поздно наступит монотонное убывание (раз уж есть стремление к нулю).

 Профиль  
                  
 
 Re: Степенной ряд
Сообщение26.03.2010, 20:15 


05/06/09
149
Спасибо!
Рассмотрим поведение ряда на концах интервала

1) $x=1$

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}\cdot (1-2)^k=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}\cdot (-1)^k$


Теперь по признаку Лейбница нужно исследовать сходимость

a) $\lim\limits_{k \to \infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}=\lim\limits_{k \to \infty}\dfrac{k^2(2 + 1/k^2)}{k^3(1 +2/k^3)}=\lim\limits_{k \to \infty}\dfrac{2 + 1/k^2}{k(1 +2/k^3)}=0$

б) Исследуем монотонность функции $f(k)= \dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}$

$f'(k)=\dfrac{4k(3\cdot k^3 +2)-9k^2({2\cdot k^2 + 1})}{(3\cdot k^3 +2)^2}=\dfrac{8k-9k^2-4k^4}{k(1 +2/k^3)}$

$f'(k)$ - это рациональная дробь и, следовательно, может обращаться в ноль лишь в конечном наборе точек. Т.е. и участков монотонности -- тоже не более чем конечное число. А значит, рано или поздно наступит монотонное убывание (раз уж есть стремление к нулю).

=> ряд сходится!

2) $x=3$

$$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}\cdot (3-2)^k=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}\cdot (1)^k=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2}{3\cdot k^3 +2}+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{3\cdot k^3 +2}$$

Рассмотрим ряд

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2}{3\cdot k^3 +2}$

$a_n=\dfrac{2\cdot k^2}{3\cdot k^3 +2}<\dfrac{2\cdot k^2}{3\cdot k^3}=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{k}$

Поэтому

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2}{3\cdot k^3 +2}<\dfrac{2}{3}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k}$

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k}$ расходится, тк это гармонический ряд.

Из расходимости $\dfrac{2}{3}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k}$

Следует расходимость $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2}{3\cdot k^3 +2}$
а, следовательно расходимость ряда

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Степенной ряд
Сообщение26.03.2010, 20:30 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
oleg-spbu в сообщении #302834 писал(а):
Рассмотрим ряд

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2}{3\cdot k^3 +2}$

Не обосновано. Вы необоснованно выкинули единичку из числителя.

Обосновать-то это, конечно, можно, но -- не нужно. Следует использовать не первый, а второй признак сравнения (тот, что насчёт эквивалентности).

Тем более, что первый Вы применили неверно (не в ту сторону неравенство).

 Профиль  
                  
 
 Re: Степенной ряд
Сообщение26.03.2010, 21:36 


05/06/09
149
Цитата:
Не обосновано. Вы необоснованно выкинули единичку из числителя


Я же разбил ряд на 2 суммы строчкой выше и начал рассматривать одну из них!!!

Цитата:
Тем более, что первый Вы применили неверно (не в ту сторону неравенство).

Разве неверно? Ведь - чем больше знаменатель, тем меньше дробь (для положительных дробей)

 Профиль  
                  
 
 Re: Степенной ряд
Сообщение26.03.2010, 21:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Если один ряд меньше другого, а тот расходится, то этот что?

 Профиль  
                  
 
 Re: Степенной ряд
Сообщение26.03.2010, 21:53 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
oleg-spbu в сообщении #302871 писал(а):
и начал рассматривать одну из них!!!

а вторую -- Пушкин будет рассматривать?...

oleg-spbu в сообщении #302871 писал(а):
Разве неверно? Ведь - чем больше знаменатель, тем меньше дробь

oleg-spbu в сообщении #302834 писал(а):
$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2}{3\cdot k^3 +2}<\dfrac{2}{3}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k}$

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k}$ расходится, тк это гармонический ряд.

Из расходимости $\dfrac{2}{3}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k}$

Следует расходимость $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2}{3\cdot k^3 +2}$

Из расходимости большего ряда не следует расходимость меньшего. Всё в точности наоборот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степенной ряд
Сообщение26.03.2010, 22:32 


05/06/09
149
А, точно - все понял, спасибо всем вам)

2) $x=3$

$$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}\cdot (3-2)^k=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}\cdot (1)^k=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}$$

Сравним два ряда $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}$ и $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k}$

$$\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}:\dfrac{1}{k}=\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{k(2\cdot k^2 + 1)}{3\cdot k^3 +2}=\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{k^3(2 +1/k^2)}{k^3(3 +\dfrac{2}{k^3})}=\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{2 +\dfrac{1}{k^2}}{3+\dfrac{2}{k^3}}=\dfrac{2}{3}$$

Ряд $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k}$ расходится (гармонический ряд расходится). Тогда из
расходимости гармонического ряда следует расходимость $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2\cdot k^2 + 1}{3\cdot k^3 +2}$

Ответ: Область сходимости степенного ряда $1<x \le 3$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group