Несколько вопросов по дзета-функции Римана

[e2e4]

Уважаемые форумчане, скажите пожалуйста, кто знает:
1. Согласно Википедии:
Дзета-функция Римана ζ(s) определена с помощью ряда Дирихле:
$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$
В области $\left\{s : {Re}(s) > 1 \right\}$ этот ряд сходится, является аналитической функцией и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость без единицы. В этой области также верно представление в виде бесконечного произведения (тождество Эйлера)
$\zeta(s) = \prod_p \frac{1}{1-\frac{1}{p^s}}$
где произведение берётся по всем простым числам p. Это равенство представляет собой одно из основных свойств дзета-функции.

Вопрос(насколько я понимаю, ответ - нет): сохраняется ли это тождество при s = 1?
2. В любом случае, рассмотрим некоторую функцию Z(s)
$Z(s) = \prod_p \frac{1}{1-\frac{1}{p^s}}$
при s = 1. Получим:
$Z(s) = \prod_p \frac{1}{1-\frac{1}{p}}$
Имеет ли данное выражение какой-нибудь математический смысл? Под математическим смыслом я подразумеваю понятие, аналогичное понятию "физический смысл" в физике. Т.е. имеет ли эта формула какое-нибудь значение в математике?

Буду благодарен за любые ответы, но, т.к. сам я довольно далек от данного раздела математики, прошу - объясняйте как для школьника .

[juna]

Могу предложить свои опусы http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=13679&highlight=#13679

[Руст]

Можете считать Z(1) бесконечностью, в том смысле, что при умножении на ноль может появиться конечное ненулевое значение.

[e2e4]

Ваши труды видел еще когда шло обсуждение, особо не вникал, т.к. в первых постах вы ушли от интересующей меня темы. Тем не менее постараюсь просмотреть повнимательней, вникнуть. Сразу:

Артамонов Ю.Н. писал(а):

С другой стороны, это дзета функция Римана от s=1 и для нее справедлива формула Эйлера через произведение простых чисел

.
Это действительно так? Насколько я понял, при s=1 дзета-функция не определена, и, соответсвенно тождество Эйлера неприменимо?

[e2e4]

Руст писал(а):

Можете считать Z(1) бесконечностью, в том смысле, что при умножении на ноль может появиться конечное ненулевое значение.

эээ... непонял
$Z(1) = \prod_p \frac{1}{1-\frac{1}{p}}$
т.е. $Z(1) = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} * \frac{1}{1-\frac{1}{3}} * \frac{1}{1-\frac{1}{5}} * \frac{1}{1-\frac{1}{7}} * \frac{1}{1-\frac{1}{11}} ... $

[juna]

e2e4 писал(а):

Ваши труды видел еще когда шло обсуждение, особо не вникал, т.к. в первых постах вы ушли от интересующей меня темы. Тем не менее постараюсь просмотреть повнимательней, вникнуть. Сразу:

Артамонов Ю.Н. писал(а):

С другой стороны, это дзета функция Римана от s=1 и для нее справедлива формула Эйлера через произведение простых чисел

.
Это действительно так? Насколько я понял, при s=1 дзета-функция не определена, и, соответсвенно тождество Эйлера неприменимо?

Для того, чтобы разобраться в этом, проще всего попытаться получить соотношение Эйлера непосредственно.
Имеем $\frac{n}{n-1}=1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}+...$
Пусть $n=p^s$, где $p$ - некоторое простое число, тогда $\frac{p^s}{p^s-1}= 1+\frac{1}{p^s}+\frac{1}{p^{2s}}+\frac{1}{p^{3s}}+...$
$\prod\limits_{p\text{ - простое}}^{\infty}\frac{p^s}{p^s-1}=(1+\frac{1}{p_1^s}+\frac{1}{p_1^{2s}}+\frac{1}{p_1^{3s}}+...)(1+\frac{1}{p_2^s}+\frac{1}{p_2^{2s}}+\frac{1}{p_2^{3s}}+...)...(1+\frac{1}{p_n^s}+\frac{1}{p_n^{2s}}+\frac{1}{p_n^{3s}}+...)+...$
По основной теореме арифметики каждое число разлагается в произведение простых единственным образом. Тогда, раскрывая скобки в правой части равенства, мы получим все возможные сочетания из простых чисел, а следовательно ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$.
Отсюда видно, что степень $s$ мало что меняет, расходятся ряды, конечно, по-разному, но здесь справедлива формула Мертенса.

[Руст]

В точке s=1 у дзета функции полюс с вычетом 1. Точнее ничего придумать.

[e2e4]

Спасибо, Артамонов Ю.Н., про справедливость тождества Эйлера понятно.
А вот что значит "полюс с вычетом 1"? Во всех источниках постоянно встречается этот термин, но я его не знаю...

[Руст]

Это значит, что разница дзета(s)-1/s аналитическая функция в окрестности 1.

[e2e4]

Значит никому не встречось, так сказать, осмысление выражения
$Z(1) = \prod_p \frac{1}{1-\frac{1}{p}}$ ?

Дело в том, что я полагаю, что это выражение, как при взятие произведения по конечному числу простых чисел, так и бесконечное произведение по всем простым числам - имеет четкий смысл.

[juna]

Не понятно чего Вы хотите уяснить.
Осмысленно можно говорить только о частичных суммах расходящихся рядов.
гармонический ряд здесь
http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=18279&highlight=#18279
формула Мертенса:
$(e^{\gamma})ln(N)=\prod\limits_{ p\leqslant{N}}{\frac {1}{1-\frac{1}{p}}}$
Расходящихся рядов математики опасаются

[e2e4]

Поясните пожалуйста, что представляет собой гамма в предложенной вами формуле Мертенса? Постоянная Эйлера? В инете по фамилии "Мертенс" находится только его теорема, но не формула.

[juna]

Да. $\gamma$ - это постоянная Эйлера. По теоремам Мертенса посмотрите стр. 85 http://www.math.ru/lib/book/djvu/yaglom ... dachi.djvu
а также http://mathworld.wolfram.com/MertensTheorem.html

[e2e4]

Спасибо Артамонов Ю.Н., Руст - вроде бы что-то прояснилось...