Суммирование

[Sasha2]

Проверьте пожалуйста решение:
Пусть $S_n(p)=\sum\limits_{k=1}^nk^p$
Доказать, что $\sum\limits_{p=1}^mC_{m+1}^pS_n(p)=(n+1)^{m+1}-(n+1)$.

Делаем чисто формально:
$\sum\limits_{p=1}^mC_{m+1}^pS_n(p)=\sum\limits_{p=1}^mC_{m+1}^p\sum\limits_{k=1}^nk^p=\sum\limits_{p=1}^m\sum\limits_{k=1}^nC_{m+1}^pk^p=\sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{p=1}^mC_{m+1}^pk^p$
(Продолжаем со следующей строчки)
$\sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{p=1}^mC_{m+1}^pk^p=\sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{p=0}^{m+1}C_{m+1}^pk^p-\sum\limits_{k=1}^n(k^{m+1}+1)=\sum\limits_{k=1}^n(k+1)^{m+1}-\sum\limits_{k=1}^n(k^{m+1}+1)$

И далее уже понятно, что от первой суммы остается $(n+1)^{m+1}$ (последнее слагаемое), а от второй суммы $n$ (это вклад всех единиц) и еще единица (первое слагаемое). И того ответ: $(n+1)^{m+1}-(n+1)$

Вроде все формально правильно, но что-то сомнения есть в законности суммирования таким образом.
P.S. Задача из трехтомного сборника задач Кудрявцева, том 1, стр. 31, №15.

[Xaositect]

Вроде все верно.

Это с рядами надо аккуратно обращаться, обосновывая корректность каждого формального перехода, а с конечными суммами все хорошо.

[Sasha2]

Спасибо.
Никак не могу привыкнуть вот к такой возможности перстановки суммирования.
Кажется, что слагаеме, как бы сцепляются друг с другом в парных произведениях, а поэтому порядок суммирования важен, а на самом деле не важен.

[meduza]

Sasha2 в сообщении #302009 писал(а):

Никак не могу привыкнуть вот к такой возможности перстановки суммирования.

Если пределы внутренней суммы не зависят от индекса внешней суммы, то менять порядок суммирования можно -- это обычный переместительный закон.

$$\sum_{i=1}^2\sum_{k=1}^2 a_i b_k = a_1 b_1 + a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_2 b_2 = a_1 b_1 + a_2 b_1 + a_1 b_2 + a_2 b_2 = \sum_{k=1}^2\sum_{i=1}^2 a_i b_k = \sum_{i,k=1}^2 a_i b_k$$

В "Конретной математике" очень подробно освещены такие вопросы.

[Sasha2]

То есть Вы хотите сказать, что при любых фиксированных пределах суммирования, джопускается изменение порядка суммирования?

[meduza]

Да. Доказывается элементарно, расписываеним суммы с последующей перестановкой слагаемых. А если привлечь нотацию Айверсона, то тут вообще проще некуда:

$$\sum_{i=m}^n\sum_{k=p}^q a_{i,k} = \sum_{i,k}a_{i,k} [m\leqslant i\leqslant n][p\leqslant k \leqslant q] = \sum_{k=p}^q \sum_{i=m}^n a_{i,k}$$

[AD]

Ну тут интереснее становится, когда пределы сумм начинают зависеть от предыдущих индексов предыдущих сумм. Тут уже надо немножко посоображать - примерно теми же отделами мозга, которые впоследствии учатся переставлять кратные интегралы. Например

$$\sum\limits_{\ell=1}^k\sum\limits_{j=1}^\ell=\sum_{j=1}^k\sum_{\ell=j}^k$$

[Sasha2]

А Меня вот интересует такой еще вопрос, а не могут ли быть слагаемые в конечной кратной сумме (которые, как правило парные произведения) быть закручены таким образом, чтобы даже при фиксированных пределах перестановка суммирования стала незаконной?
Просто чисто психологически трудно привыкнуть. Всегда тянет вручную расписать суммы и провести (как бы подстраховываясь) проверку, то есть подсчет в ручном режиме.

[ИСН]

Разве что если умножение некоммутативно.
А что тянет проверить - это хорошая, годная привычка. Лектор мог быть пьян, в учебнике опечатка, не верь никому, сам потрогай руками все нужные результаты. Не в этом ли суть научного метода?

[AD]

Ну как начнёте массово пользоваться, так проверять и надоест сразу.

(Оффтоп)

Sasha2 в сообщении #302159 писал(а):

А Меня вот интересует такой еще вопрос

Это хорошо, что он Вас интересует
Не, я всё понимаю, это от английского привычка, где `I' всегда большое

[Xaositect]

Sasha2 в сообщении #302159 писал(а):

Просто чисто психологически трудно привыкнуть. Всегда тянет вручную расписать суммы и провести (как бы подстраховываясь) проверку, то есть подсчет в ручном режиме.

Так распишите.
Раз пять распишете - привыкнете

[meduza]

(Оффтоп)

AD в сообщении #302128 писал(а):

которые впоследствии учатся переставлять кратные интегралы. Например

$$\sum\limits_{\ell=1}^k\sum\limits_{j=1}^\ell=\sum_{j=1}^k\sum_{\ell=j}^k$$

Ну и тут Айверсоном можно:

$$[1\leqslant \ell \leqslant k][1 \leqslant j \leqslant \ell] = [1\leqslant j\leqslant \ell \leqslant k] = [1\leqslant j \leqslant k][j \leqslant \ell \leqslant k]$$