ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА: ЭКСПЕРИМЕНТ ПРОДОЛЖАЕТСЯ…

[Сорокин Виктор]

Прошло семь месяцев с того времени, как было найдено, оформлено и предложено вниманию 70-ти математиков (по их инициативе; большинство из них – специалисты в теории чисел) элементарное доказательство Великой теоремы Ферма. Однако ни положительных, ни отрицательных отзывов все еще нет. В чем же дело?
Суть двухстраничного доказательства чрезвычайно проста: после умножения «равенства» Ферма a^n + b^n – c^n = 0 на 11 в степени n, а следовательно, и числа u = a + b – c (оканчивающегося на k нулей) на 11 «равенство» превращается в неравенство: (k+3)-я цифра (от конца) в левой части «равенства» не есть ноль!
Любому человеку, способному к математическому мышлению, этой информации вполне достаточно, чтобы произвести чуть ли не в уме все простейшие операции умножения числа u (разложенного на два слагаемых u' и u'') на 11. При этом в произведениях в расчет принимаются лишь две последние значащие цифры (чего для доказательства вполне достаточно).
Два месяца тому назад я предложил доказательство на обсуждение в математическом Интернет-форуме при мехмате МГУ. И что же? Результат остался тот же!.. (Впрочем, определенная польза от поверхностного обсуждения все же была: оказалось, что разумнее некоторые определения поменять местами и расчеты всех цифр, фигурирующих в доказательстве, привести полностью, что автор и сделал в новой редакции текста доказательства, к сожалению, пока нигде не опубликованного.)
Конечно, для признания доказательства я мог бы либо пойти по официальному пути – послать запрос на официальный отзыв, либо заказать платную рецензию специалисту. Но поскольку быстрота реакции научной общественности потеряла для меня значимость, то я вроде как «жду у моря погоды»: мне страшно интересно узнать, сколь быстро общество само, без какого-либо побуждения извне, заинтересуется открытием с важными для судьбы общества последствиями (о них см. ниже). При этом от него никаких усилий не требуется – нужно лишь не поверить, затем проверить простейшие вычисления и… принять подарок. (Впрочем, последние двадцать лет с достаточной степенью надежности убедили меня в том, что общество брать в дар и использовать эффективные решения без напористого подталкивания извне не способно.)
Итак, какие важные последствия могут быть у признания элементарного доказательства ВТФ (будь оно верным)?
Сама математика выигрывает как будто немного: ведь теорема уже была доказана. Ну, конечно, какое-то значение может иметь анализ диофантовых уравнений высоких степеней с помощью «характеристического» числа u: метод позволяет легко и просто указать широкий класс уравнений с числом неизвестных более трех, которые не имеют решения, и, напротив, указать признак разрешимости таких уравнений. Но, похоже, к этим уравнениям интерес математиков пока невелик.
Значительно больше от признания доказательства выиграет история математики: трехсотлетней тайне будет положен конец, а Пьер Ферма будет почти полностью реабилитирован.
Элементарное доказательство будет иметь важное значение для психологии мышления, и главный вопрос здесь будет таков: как могло случиться, что тысячи и тысячи специалистов на протяжении трех веков так и не смогли отыскать элементарное доказательство, а не-специалист его нашел и чем отличается мышление профессионала от мышления «любителя»?
Но для общества значительно большее значение может иметь использование и других решений, особенно в области энергетики: ведь автор предлагает безграничные, абсолютно экологичные и сверхдешевые способы производства энергии. Это тем более важно, что запасы ископаемого органического топлива на исходе, а за овладение их остатками ведется ожесточенная борьба.
Итак, эксперимент продолжается. Интересно, коль скоро общество сделает столь нужный ему самому шаг?..

Тексты доказательства находятся на сайтах:
На русском языке в doc. (4 кб): http://fox.ivlim.ru/docs/sorokine/vtf.doc
На русском языке в pdf : http://fox.ivlim.ru/docs/sorokine/vtf.pdf
English version of the demonstration (4kb): Revista Foaie Matematică: www.fmatem.moldnet.md/1_(v_sor_05).htm
Постоянная авторская рубрика в FoxЖурнале: http://fox.ivlim.ru

P.S. Предисловие к доказательству:
Идея предлагаемого вниманию читателя элементарного доказательства Великой теоремы Ферма исключительно проста: после разложения чисел a, b, c на пары слагаемых, затем разложения левой части равенства a^n + b^n – c^n = 0 на сумму U' и U'' и умножения равенства на 11^n (т.е. на 11 в степени n, а чисел a, b, c на 11) (k+3)-я цифра в числе a^n + b^n – c^n (где k – число нулей на конце числа a + b – c) не равна 0 (т.е. числа U' и U'' «умножаются» по-разному!). Для постижения доказательства нужно знать лишь формулу бинома Ньютона, простейшую формулировку малой теоремы Ферма (приводится), определение простого числа, сложение двух-трех чисел и умножение двузначного числа на 11. Вот, пожалуй, и ВСЁ! Самое главное (и трудное) – не запутаться в десятке цифр, обозначенных буквами.

[dm]

Цитата:

Два месяца тому назад я предложил доказательство на обсуждение в математическом Интернет-форуме при мехмате МГУ.

Если кому интересно, речь идет о топике:
http://www.mmonline.ru/forum/read.php?f=1&i=4152&t=4152

[Dan_Te]

Из обсуждения на ммонлайне

victor sorokine писал(а):

ВТФ я занялся для иллюстрации возможностей модели искусственного интеллекта.

[Ионеско Тулчи]

Не сочтите меня очень глупым, но я совсем не воспринимаю выражения

11^n=..101 для простого n

Это что, шутка?

[sceptic]

Ионеско Тулчи писал(а):

Не сочтите меня очень глупым, но я совсем не воспринимаю выражения

11^n=..101 для простого n

Это что, шутка?

Да нет, просто автор придерживается несколько непривычной (но, вполне корректной) системы обозначений целых чисел в позиционной системе счисления по основанию n. Вышеприведенное равенство означает, что при простом n имеет место (n+1)^n = n^2+1 mod n.

[AN]

Здравствуйте!
Сам я не решился бы начать разговор о ВТФ, но раз уж он идет, хочу рассказать свою историю. Почти 20 лет назад я тоже этим заболел. Очень скоро я обнаружил красивую структуру, которая позволяет представить любое натуральное число в натуральной степени как скалярное произведение, где один из векторов является строкой треугольника Паскаля. Много времени я потратил на то, чтобы выяснить, что обнаружил хорошо известное в комбинаторике "тождество Ворпицкого" (у Кнута это кажется так называется). Но пока мне не удалось найти в литературе, такой же как у меня, его геометрической интерпретации.
Там ведь как получается. Строим треугольник Паскаля по правилу c(i+1,j+1)=c(i,j)+c(i,j+1), (i нумерует строки, j - столбцы) тогда он получается не "равнобедренным" а "прямоугольным". Считая его строки векторами, довольно просто найти матрицу, умножение которой на строку треугольника даёт следующую строку. (При этом, конечно, нужно ограничиться некоторой размерностью (#). Это нижняя треугольная ленточная матрица содержащая на главной диагонали и первой диагонали под ней единицы, остальные элементы равны нулю. Таким образом, любую строку треугольника Паскаля можно получить из первой, умножив на неё соответствующую степень этой матрицы. Или, что то же самое, сопоставив матрице оператор, можно получить любой "вектор Паскаля" подействовав степенью этого оператора на первый орт.
Вторым сомножителем в исходное скалярное произведение входят также строки треугольника составленного числами вида k!S(n,k) где S(n,k) - числа Стирлинга 2-го рода. Этот треугольник можно получить по правилу b(i+1,j+1)=jb(i,j)+(j+1)b(i,j+1). Для него справедливо всё, сказанное выше о треугольнике Паскаля с той лишь разницей, что матрица на каждой из значащих диагоналей будет содержать натуральный ряд. (Т.е. его часть соответствующую заданной размерности, см. (#).
Что даёт такое представление натуральных чисел вида x^n ? Например, многочлен степени n с одной переменной имеющий натуральные различные корни в три действия приводится к уравнению n-мерной гиперплоскости содержащей n целых точек. Если же переменных больше одной, то вместо гиперплоскости возникает гиперповерхность, которая будет определяться некоторой полилинейной формой. (Тут нужно бы всё аккуратно расписать, видимо, через тензоры, но пока руки не доходят.)
Дальше интереснее. Обратите внимание, что использованные нами при построении матриц диагонали являются первым и вторым столбцом треугольника Паскаля. (Точнее, значащими частями 1-го и 2-го столбцов "прямоугольного" треугольника Паскаля. Удобнее воспользоваться таблицей (она не содержит нулей) построенной по правилу a(i+1,j+1)=a(i+1,j)+a(i,j+1), это есть тот же треугольник Паскаля, повёрнутый на Pi/4 - "квадрат Паскаля"). Можно продолжить построение следующих в этом множестве треугольников, пользуясь соответствующими матрицами, образованными из следующих (с номерами j>2) столбцов "квадрата Паскаля".
Зачем это нужно? А вот зачем. Оказывается, если в исходном скалярном произведении участвуют строки из этих треугольников, то среди результатов будут встречаться простые числа. (Все ли простые числа представимы таким способом или только некоторые - одному богу известно. Пока.)
Из сказанного непосредственно следует что:
1. Натуральные числа (простые и составные) представимы точками 4-х мерного пространства;
2. Простые числа (по крайней мере, некоторые из них) представимы в виде скалярных произведений наряду с составными числами;
3. Есть ещё кое-что, но пока я ничего особо интересного там не вижу.
Более чем вероятно, что всё это давно и хорошо известно. В связи с этим у меня огромная просьба - если кто-нибудь за моим примитивным изложением разглядел знакомые черты, пожалуйста, помогите сориентироваться. Не хочется ломиться в открытую дверь как в случае с числами Стирлинга.

P.S. Чуть не забыл о теме топика. Описанное выше представление натуральных чисел вида x^n позволяет в два притопа и три прихлопа привести уравнение x^n+y^n=z^n к матричному уравнению aBc=0, где a – вектор-строка второго треугольника (определяет степень уравнения), c=(1,1,-1) – вектор-столбец с первыми тремя (и только тремя!) значащими компонентами, B – матрица, столбцами которой являются строки треугольника Паскаля (их части ограниченные заданной размерностью, см. (#). В случае n=1 имеем размерности: a равна 2, c равна 3, B равна 2X3; в случае n=2 имеем размерности: a равна 3, c равна 3, B равна 3X3; в случае n=3 имеем размерности: a равна 4, c равна 3, B равна 4X3. И так далее. Можно ли что-нибудь сказать о разрешимости такого уравнения исходя из размерности его членов?

[Сорокин Виктор]

Сорокин Виктор писал(а):

Прошло семь месяцев...

Самый активный форум – Help and Math Help - Physics Forums на английском языке (900 просмотров): http://www.physicsforums.com/showthread ... post682466
Вот текущие результаты на этом форуме:

1. Исправление в пункте (9°) доказательства:
(9°) u''_{k+2} = [v + (a_(k+1) + b_(k+1) – c_(k+1))_ {k+2}]_1.
Причина ошибки: выражение (a_(k+1) + b_(k+1) – c_(k+1))_ {k+2} было было скопировано не из той формулы.

2. Первая цифра в отрицательном числе w (в примере n = [13 в десятичной системе счисления], k = 1, w = –80, третья цифра в числе –80: (–80)_{3}).
Логичо считать что:
ВСЕГДА увеличение числа w на n^(k+2) третья от конца цифра в числе w, т.е. w_{3}, увеличивается на 1 (но если w_{3} = n – 1, тогда новая цифра w_{3} = 0).
(2 + 50)_{3} = (300 – 80)_{3} = 2,
(1 + 50)_{3} = (200 – 80)_{3} = 1,
(0 + 50)_{3} = (100 – 80)_{3} = 0,
(–100 + 50)_{3} = (– 80)_{3} = –1.
Следовательно:
Если w_(2) < 0 и IwI < n^2, тогда w_{3} = –1. (–80)_{3} = –1, а не 0!

Из других форумов следует отметить мехматовский (1100 просмотров) и физфаковский (450 просмотров) форумы МГУ:
http://dxdy.ru/viewforum.php?f=1&sid=3f ... 672ea92292 и
http://forum.dubinushka.ru/index.php?s= ... owforum=40
ну и, конечно, вспомогательный форум при моей рубрике на на сайте http://fox.ivlim.ru :
http://www.ivlim.ru/fox/forum/FORUM.asp ... 5%F0%EC%E0
На остальных форумах диалог с моим участием прекращается.

[Daniloff]

Интерсно, что упражняясь с теоремой, я тоже выдумал систему счисления - кубическую. Младший разряд в такой системе может принимать значения от 0 до 7, следующий - от 0 до 3, третий - от 0 до 2, и далее как в бинарной системе... Толку из нее извлечь не удалось, а вот сама запись чисел интересна. Например, 988=9^3+6^3+3^3+2*2^3 = 100100120

[Сорокин Виктор]

Сорокин Виктор писал(а):

Суть двухстраничного доказательства чрезвычайно проста...

О механизме противоречия в равенстве Ферма
На сайте http://fox.ivlim.ru/showrubric.asp?rubricid=18 опубликовано подробное объяснение сути элементарного противоречия в равенстве Ферма:
"ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА: О природе противоречия равенства Ферма".
ВС

[Сорокин Виктор]

Сорокин Виктор писал(а):

Прошло семь месяцев...

Уже 9...

СУЩЕСТВЕННОЕ УПРОЩЕНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

При простом основании счисления n > 2 верна следующая лемма (являющаяся простым следствием из §2 и §2a в Приложении к доказательству ВТФ):
(§3) Для числа а, не оканчивающегося на ноль, и любого k-значного числа p_(k) существует такой сомножитель d, что (ad)_(k) = p_(k).

Эта лемма позволяет существенно упростить доказательство:
После
«(3°) Умножим равенство 1° на число (d_1)^n (см. §§2 и 2a в Приложении) с целью превратить цифру u_{k+1} в 2 (теперь достаточно и этого)»; при этом последняя цифра числа «с» как-то изменится и станет равна новому значению c_1. И сразу после этой операции умножим равенство 1° на такое число d^n, чтобы все цифры в числе «с» от c_2 до c_{k+2} превратились в нули, или иначе: чтобы окончание числа «с» c_(k+2) превратилось бы в c_1.

Теперь (если учесть, что в равенстве Ферма k > 1) числа
(a_(k) + b_(k) – c_(k))_{k+1} = (0 or 1) (а не –1, 0, 1),
(a*_(k) + b*_(k) – c*_(k))_{k+1} = (0 or 1),
(a_(k+1) + b_(k+1) – c_(k+1))_{k+2} = (0 or 1),
(a*_(k+1) + b*_(k+1) – c*_(k+1))_{k+2} = (0 or 1)
– то есть нет необходимости оперировать с отрицательными цифрами.
Кроме того, рассмотрев по очереди подслучаи с u'_(k+1) = 0 и u'_(k+1) = 1, можно распространить доказательство и на случаи n = 3, 5, 7.

Устранение из доказательства отрицательных цифр избавляет читателя от большой малоинтересной работы и делает доказательство по меньшей мере красивым.
Использование новой леммы дает большой эффект и в случае доказательства ВТФ с помощью других сомножителей, когда u'_(k+1) превращается не в 5 и не в 2, а в 1, а вместо сомножителя 11^n берется сомножитель g^n, где g – такая цифра, что вторая цифра в числе g^n, или (g^n)_2 =/ 0 (методом от противного легко показать, что такая цифра существует). С использованием этих сомножителей противоречие в равенстве Ферма обнаруживается уже по k+2-м (а не по k+3-м) цифрам чисел U' и U'', объем доказательства сокращается вдвое и его уже вполне можно назвать «сказочным». Это доказательство если и не умещается на полях книги, то совсем немного.

[Сорокин Виктор]

Читатель Hurkyl с форума http://www.physicsforums.com/forumdisplay.php?f=80
составил интересный пример для степени n = 13 с конкретными 5-значными числовыми окончаниями чисел a, b, c: (a^13 + b^13)_(5) = c^13_(5) и k = 2. На этом основании он делает вывод о том, что от умножения этого равенства на 11^n оно нарушиться не может. НО…
Мое доказательство методом от противного активно использует именно это равенство: именно благодаря этому равенству при умножении равенства Ферма на 11^n оно превращается в НЕРАВЕНСТВО по пятым (от конца) цифрам. Из чего следует невозможность и самого равенства Ферма. Противоречие между (a^13 + b^13)_(5) = c^13_(5) и (11^13 x a^13 + 11^13 x b^13)_(5) =/ (11^13 x c^13)_(5) возникает от того, что числа a, b, c НЕ ЯВЛЯЮТСЯ ЦЕЛЫМИ.
ВС

[evgeny]

Если я все правильно понимаю, то проблема где-то в выкладках
(Вы не учитываете перенос или что-то в этом роде)

Основной аргумент - вы не пользуетесь полным равенством
a^n+b^n=c^n, а используете только несколько последних цифр (которые должны быть нулями). И получаете противоречие.
Получить противоречие по последним цифрам нельзя.
Потому что существуют решения в n-адических числах.
Если Вы не знаете что это такое, то можно сказать так
для любого L>>k существуют числа
a,b,c, такие что a+b-c имеет не больше k нулей и
a^n+b^n-c^n имеет L нулей
причем эти числа можно наращивать.

А для конкретных рассуждений рассмотрите числа с фиксированными последними n-1 цифрами
a = ...0000010 = A*n^{n-1} + n
b = ...0000001 = B*n^{n-1} + 1
c = ...0000001 = C*n^{n-1} + 1

Для них k=1, но в равентсве a^n+b^n-c^n последние n цифр нули
( и останутся нулями при умножении на d^n, 11^n и т.д.)

[evgeny]

Предположим, что существуют решение уравнения
a^7+b^7=c^7
следующего вида ( т.е. фиксированны последние 50 цифр в системе исчисления с основанием 7)

a = ...00000000000000000000000000000000000000000000000001
b = ...00000000000000000000000000000000000000000000000002
с = ...36302421403355066432121202606316255462512512350103

тогда a^7+b^7 - c^7 заканчивается как минимум 51 ноль.
В обозначания "док-ва" k = 1, но уверяю вас, что
вы не получите противоречия рассамтривая последние 50 цифр у этого решения ( и у умноженного на любое натуральное число)

Если 50 это мало, то вот 500 последних цифр для с:
55360346136616355651464155362061042502642435200202112600112443062512012606103225003635166542404412123030141364261433443512110122103201146546524346023561536415352105126021255360354455552060522251006050462515623106326544565314056316214243445212245031043205655641434131525611622162223302215564313604223504236535361601540340132216342061155234450344254620066131004642353603336536421356033142560336226524031143042233440460353435162662116331064464661334464536302421403355066432121202606316255462512512350103

[Сорокин Виктор]

После обсуждения на четырех форумах с общим числом посещений более 4000 лишь два участника (с форума fiziksHelp) выступили с доброжелательным разбором доказательства по существу. Заключительный вывод таков: по последней значащей цифре числа u = a + b – c (> 0) противоречие не возникает. И это логично: последние цифры оснований – это всего лишь «макияж»; нужно же рассмотреть роль первых цифр чисел u, a, b, c. Именно они, как последние члены в возрастающей геометрической прогрессии, «делают погоду» в равенстве Ферма. И при первом же их рассмотрении появились признаки невозможности равенства Ферма. При этом доказательство существенно упрощается. Суть его такова.

Прежде всего, из равенства Ферма 1°, если таковое существует, следует, что
(c – u)/u < 2/n.
Пример для n = 5. Пусть a^5 + b^5 = c^5.
При заданном с максимум a + b достигается при a = b, откуда 2a^5 = c^5, откуда 1,1487a = c, откуда a = 0, 87055c; u = (2 x 0, 87055 – 1)c = 0,7411; c = 1,349u = u + 0,349u.
И если цифра наивысшего разряда в числе u равна «5», то и в этом случае 0,349n = 0,349 х 5 = 1,75… < 2.
Следовательно, цифра старшего разряда числа с превышает цифру старшего разряда числа u не более чем на 1. Если ввести понятие максимального ранга R (порядковый номер головной цифры числа от его конца) и обозначить R(c) через s, а R(u) через r, то s = r либо r + 1.
Важно, что (a – a_r) + (b – b_r) – (c – c_r) ==0

Затем нам понадобится следующая простая Лемма:
Для любого числа «а» не кратного простому n (т.е. с а_1 =/ 0) существуют такие числа p и m, что ap = n^m – 1. То есть все цифры в произведении aр есть только n – 1, или «девятки». Справедливость Леммы вытекает из малой теоремы Ферма: любой простое число g1 есть сомножитель числа n^(g1 – 1) – 1, а число n^(g1 х g2 х… gt – 1) – 1 делится на g1 х g2 х… gt.
Затем с помощью умножения равенства 1° на p^n и, следовательно, числа u на p мы превращаем число u/u^k в n^m – 1, состоящее, за исключением конечных k нулей, только из цифр n – 1.

Доказательство Великой теоремы распадается на два случая.

Случай 1: abc не кратно n, или (abc)_1 =/ 0
Невозможность равенства Ферма (1°) при s = r очевидна: даже в самом благоприятном случае a^n + b^n >> c^n.
Примеры в базе n = 7: 6…^n + 6…^n > 6…^n; 5…^n + 5…^n >> 4…^n.
При s = r + 1 либо цифра c_r < n – 1, и тогда неравенство a^n + b^n >> c^n сохраняется, либо c_r = n – 1, и тогда c_{r + 1} = 1, но тогда (a – a_r) + (b – b_r) – (c – c_r) =/ 0.

Случай 2: b (или c) кратно n или b_1 =/ 0 при (ac)_ =/ 0.
Доказательство полностью аналогично, но, если b = b'n^k, то в качестве числа u здесь выступает выражение u = a + b'n^(kn – 1) – c. Это объясняется тем, что число с – а имеет сомножитель n^(kn – 1) (см. Приложение к 1-му доказательству).

11 августа 2005

P.S. В ближайшее время форум будет перенесен на новую тему: «ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА: Противоречие по первым цифрам».

[Сорокин Виктор]

Поправка (2 раза):
вместо (a – a_r) + (b – b_r) – (c – c_r) =
следует читать (a – a_(r)) + (b – b_(r)) – (c – c_(r)) =