Счётные множества

[Maslov]

Marina, не сочтите за труд, дайте, пожалуйста, определение счетного множества.

[Marina]

У меня записано так: Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счётным. Т.е. множество счётно, если его можно пронумеровать.

[Maslov]

А какие примеры счетных множеств и свойства счетных множеств у Вас записаны?

[Marina]

Множество целых чисел эквивалентно множеству натуральных чисел. Следовательно множество целых чисел счётно:$ n\leftrightarrow 2n $;
$ -n \leftrightarrow 2n+1 $

[Maslov]

Ну хорошо, а знакомо Вам такое свойство счетных множеств: любое подмножество счетного множества либо счетно, либо конечно?

[Marina]

Мне знакомо только, что бесконечное множество может быть эквивалентно своему подмножеству.

[ewert]

Marina в сообщении #301828 писал(а):

Мне знакомо только, что бесконечное множество может быть эквивалентно своему подмножеству.

Это не свойство, это оговорка (мол, у бесконечных множеств всё не как у людей).

У вас должна была быть такая теорема: любое бесконечное подмножество счётного множества также счётно. Иными словами: не существует мощности, промежуточной между мощностью счётных множеств и мощностями конечных. Ещё иными: счётность -- это минимально возможная мощность бесконечных множеств.

Ну а если пока ещё не было -- значит, от Вас хотят пальчиками: привести конкретную биекцию. Это легко. Неделящиеся на 3 числа имеют остаток от деления или 1, или 2. Установите биекцию между первыми и, скажем, всеми чётными числами, а параллельно -- между вторыми и всеми нечётными.

[Maslov]

ewert в сообщении #301839 писал(а):

Установите биекцию между первыми и, скажем, всеми чётными числами, а параллельно -- между вторыми и всеми нечётными.

Там еще отрицательные есть, так что четыре параллели получаются

(Оффтоп)

Спасибо, ewert

[ewert]

Maslov в сообщении #301845 писал(а):

Там еще отрицательные есть, так что четыре параллели получаются [/off]

Не получаются. Ровно две, если аккуратно (т.е. если остатки от деления определять как беззнаковые).

(Оффтоп)

Maslov в сообщении #301845 писал(а):

Спасибо, ewert

аналогичное спасибо

[Maslov]

ewert в сообщении #301849 писал(а):

Ровно две, если аккуратно

Это если на $\mathrm Z$.

[ewert]

Maslov в сообщении #301853 писал(а):

Это если на $\mathrm Z$.

А оно там (на $\mathbb Z$) с самого начала и былО:

Marina в сообщении #301701 писал(а):

множество целых чисел, не кратных 3

[Marina]

Извините, но я мало что поняла из Ваших последних 5 сообщений. Поясните пожалуйста, мои знания по теме: "теория множеств" на школьном уровне (учусь в 9 классе).

[maxmatem]

посмотрите книгу Виленкина "Рассказы о множествах", там очень хорошо описаны основы теории множеств(она предназначена для старшеклассников), а знать вам надо следующий факт:
Всякое подмножество счётного множества не более чем счётно.

[gris]

Все целые числа:
0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 5 -5 6 -6 7 -7 8 -8 9 -9 10 -10 11 -11 12 -12 13 -13.....

Выкидываем, которые делятся на 3. Остаются:
1 -1 2 -2 4 -4 5 -5 7 -7 8 -8 10 -10 11 -11 13 -13 14 -14 16 -16 .....

считаем
1 это раз, -1 это два, 2 это три, -2 это четыре, 4 это пять, -4 это шесть,
семь это баран, восемь капитан
5 это семь, -5 это восемь...2011 это две тысячи шестьсот восемьдесят один
- 2011 это две тысячи шестьсот восемьдесят два ...
ну и так далее до бесконечности. Так мы их и посчитаем.

[Marina]

gris В чём моя ошибка:

Цитата:

...множество $\mathbb{B}$, состоящее из не кратных 3 целых чисел, является подмножеством $\mathbb{Z}$множества. А раз уж $\mathbb{Z}$ множество - счётно, следовательно и счётно его подмножество$\mathbb{B}$

?