Счётные множества

[Maslov]

Marina,
Вам уже писали, что не всякое подмножество счетного множества счетно: некоторые подмножества счетных множеств конечны, а не счетны.
Должно быть так:

Цитата:

...бесконечное множество $\mathbb{B}$, состоящее из не кратных 3 целых чисел, является подмножеством $\mathbb{Z}$множества. А раз уж $\mathbb{Z}$ множество - счётно, следовательно и счётно его бесконечное подмножество$\mathbb{B}$

[ewert]

Ошибка в том, что Вы не упомянули бесконечность этого множества.

А ведь оно могло бы, в принципе, оказаться и конечным. И тогда -- не было бы счётным.

[Maslov]

Ну и еще один момент, о котором уже упоминал ewert.

На вопрос

Maslov в сообщении #301821 писал(а):

знакомо Вам такое свойство счетных множеств: любое подмножество счетного множества либо счетно, либо конечно?

Вы ответили отрицательно. А значит, скорее всего, Вы этого свойства еще не проходили. А раз не проходили, то, возможно, от Вас ожидают решения, использующего только определение счетности (аналогичного доказательству счетности множества $\mathrm Z$).

[Marina]

Любое счётное бесконечное множество содержит в себе бесконечное счётное подмножество?

[Maslov]

А сами как думаете? И почему?

[Marina]

Это то что я поняла. Или я опять..что-то напутала?

[Maslov]

Непонятно, какое отношение это (верное) утверждение имеет к рассматриваемой задаче: из того, что счетное множество имеет бесконечное подмножество, вовсе не следует, что любое подмножество счетного множества счетно (бесконечно).
Пример Вам уже приводили:
$\mathrm Z$ счетно, $\{-1, 1\} \subset \mathrm Z$, но $\{-1, 1\}$ не счетно (а конечно).

Поэтому из того, что $\mathrm Z$ счетно и $\mathrm B \subset \mathrm Z$ не следует счетность $\mathrm B$.
А вот из того, что $\mathrm Z$ счетно, $\mathrm B \subset \mathrm Z$ и $\mathrm B$ бесконечно -- следует.

[Marina]

СПАСИБО !!! Понятно.

[Maslov]

Ура!

[Marina]

Maslov
Скажите, пожалуйста, т.к. бесконечное рациональное множество является подмножеством действительных чесел. А множество действительных чисел - счётно, то счетно и его бесконечное подмножество рациональных чисел?

[Maslov]

Marina в сообщении #302025 писал(а):

Maslov
Скажите, пожалуйста, если бесконечное рациональное множество является подмножеством действительных чесел. А бесконечное множество действительных чисел - счётно, то счетно и его бесконечное подмножество рациональных чисел?

Если бы все было так, как Вы пишите, то из этого можно было бы сделать вывод о счетности множества рациональных чисел.

Проблема только одна -- бесконечное множество действительных более чем счетно (имеет мощность континуум). Другими словами, невозможно перенумеровать все действительные числа.

Поэтому счетность множества рациональных чисел доказывается по-другому.

[Marina]

Maslov
Я глубоко ошиблась сказав, что

Цитата:

множество действительных чисел - счётно

. В одной из книг прочла:
"...Г. Кантор доказал, что множества всех рациональных, а также всех алгебраических чисел счетны, в то время как множество всех действительных чисел несчётно."

Цитата:

... счетность множества рациональных чисел доказывается по-другому.

Если несложно, помогите с этим (доказательством) разобраться, пожалуйста.

[gris]

Да чуток подправить предыдущий пересчёт. Все рациональные числа:

$0 +\dfrac11 -\dfrac11 +\dfrac12 -\dfrac12 +\dfrac22 -\dfrac22 +\dfrac21 -\dfrac21 +\dfrac13-\dfrac13 +\dfrac23 -\dfrac23 +\dfrac33 -\dfrac33 +\dfrac32 -\dfrac32 +\dfrac31-\dfrac31 +\dfrac14-\dfrac14....$

считаем
0 это раз,$\dfrac11$ это два, $-\dfrac11$ это три, $\dfrac12$ это четыре, $-\dfrac12$ это пять, $\dfrac22$это шесть,
семь это баран, восемь капитан
$\dfrac1{2010}$это 8072164
ну и так далее до бесконечности. Так мы их и посчитаем.
----------------------------
добавлю. Некоторые числа будут пересчитаны несколько раз, так как например $\dfrac12=\dfrac24=\dfrac36=...$, но это не беда. Главное, что каждое рациональное число будет посчитано хотя бы раз. Кроме того, можно выкинуть все сократимые дроби.

[Marina]

gris, СПАСИБО БОЛЬШОЕ !!!

(Оффтоп)

Всё гениальное просто...

[maxmatem]

Вот ещё один из вариантов доказательства счетности $\[\mathbb{Q}\]$.
так как всякое рациональное число представимо в виде дроби $\[\alpha = \frac{a} {b}\]$, введем понятие высоты рационального числа а именно $\[h = \left| a \right| + b\]$. Тогда можно сделать вывод что рациональных чисел с высотой $n$ будет конечно. занумеруем рац числа следующим образом:
сначала выпишем все рац. числа с высотой $h=1$,потом с $h=2$ и так далее ... значит мы установим взаимоодназначное соответствие между$ \[\mathbb{N}\]$ и $\[\mathbb{Q}\]$, значит мн-во $\[\mathbb{Q}\]$ -счётное.