Понятия полноты и компактности

[Padawan]

terminator-II
Ну так возьмем в качестве подмножества все пространство. Вы утверждаете, что если оно хаусдофово, с первой аксиомой счетности, счетно-компактно, то и просто компактно. Я утверждаю, что это не так. Тем более, что все эти свойства являются внутренними топологическими свойствами - определяются топологией на множестве, и не зависят от того, как оно расположено в объемлющем пространстве.

[maxmatem]

Padawan
а разве из счётной компактности компактность не вытекает?(я только недавной этой теоремой пользовался) ? или если на счетную компактность наложить условие чтобы про-во было хаусдорфово, то компактность не вытекает? приведите пример если нетрудно...

[paha]

Профессор Снэйп в сообщении #301383 писал(а):

Случайно не это понятие имеется в виду?

Да, именно его... $\forall \varepsilon>0$ найдется конечная $\varepsilon$-сеть

[VoloCh]

А я исходный вопрос понял совсем по-другому. В нем речь идет исключительно о метрических пространствах. Далее. Прямо в определениях автора мне видится главный ответ о различиях.

Компактность — это свойство множества, а полнота — свойство пространства.

Метрическое пространсво может быть полным или неполным. Множество в пространстве может быть компактным или нет.
Например, пространство действительных чисел $[0;\,1]$ c обычной метрикой — полно. В нем есть компактное множество $[0{,}1;\,0{,}2]$ и некомпактное множество $(0{,}1;\,0{,}2)$
Или: пространство действительных чисел $(0;\ 1)$ c обычной метрикой — неполно. В нем есть компактное множество $[0{,}1;\,0{,}2]$ и некомпактное множество $(0{,}1;\,0{,}2)$.
Пространство $C[0;1]$ непрерывных функций с метрикой $d(x(\cdot),y(\cdot))=\max\limits_{t\in[0;1]}|x(t)-y(t)|$ полно. В нем есть некомпактное множество $\{x(\cdot)\!:\,|x(t)|\leqslant1\}$.
Пространство $C_2[0;1]$ непрерывных функций с метрикой $d(x(\cdot),y(\cdot))=\left[\int\limits_0^1|x(t)-y(t)|^2\,dt\right]^{0{.}5}$ неполно. В нем есть компактное множество $\{x(\cdot)\!:\,|x(t)|\equiv a,\ a\in[0;1]\}$.

Хорхе в сообщении #301227 писал(а):

Конечно же, полнота подпространства метрического пространства следует из секвенциальной компактности. Наоборот нет. Читайте учебник!

А вот это я не понял. Полнота следует из компактности ЧЕГО?

[paha]

А. В пространствах со счетной базой компактность и секвенциальная компактность (любая последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность) равносильны.

Хаусдорфовость тут ни разу ни при чем.

Б. Для метрических пространств из секвенциальной компактности следует сепарабельность, а значит (согласно А) и компактность

В. Если $X$ -- компактное топологическое пространство, то
для любой последовательности $\{x_n\}\subset X$ существует точка $a\in X$, что любая открытая окрестность $V$ точки $a$ содержит бесконечно много членов последовательности $\{x_n\}$.
Если $X$ удовлетворяет еще и первой аксиомой счетности, то, очевидно, можно выделить сходящуюся подпоследовательность, т.е. $X$ секвенциально компактно.

[Профессор Снэйп]

VoloCh в сообщении #301612 писал(а):

Компактность — это свойство множества, а полнота — свойство пространства.

Что за бред? И то, и другое --- свойства пространства.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #301651 писал(а):

И то, и другое --- свойства пространства.

Нет, компактность -- это свойство именно множества. В смысле подмножества всего пространства. И лишь как частный случай компактным может оказаться само пространство. Но это -- очень частный случай и в некотором смысле редко встречающийся.

Другой вопрос, что пространство вполне может оказаться локально компактным. Тут некоторая путаница в терминологии.

VoloCh в сообщении #301612 писал(а):

Полнота следует из компактности ЧЕГО?

Полнота подмножества, рассматриваемого как некое пространство, следует из секвенциальной компактности этого подмножества. Тут никаких учебников не нужно, это тривиальный вывод.

[VoloCh]

Этот бред написал автор поста

wagant в сообщении #301226 писал(а):

Компактность: Множество $M \subset X$ метрического пространства $X$ называется компактным, если всякая последовательность в $M$ содержит подпоследовательность, сходящуюся к элементу из $M$.
Полнота: Метрическое пространство $(X, \rho)$ называется полным, если любая фундаментальная последовательность сходится в $X$.

Ну, и еще этот же бред несут Андрей Николаевич с Сергеем Васильевичем. См параграфы 6 и 7 Главы 2. (сс. 98-114 в издании 1981 года)

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #301667 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #301651 писал(а):

И то, и другое --- свойства пространства.

Нет, компактность -- это свойство именно множества. В смысле подмножества всего пространства. И лишь как частный случай компактным может оказаться само пространство. Но это -- очень частный случай и в некотором смысле редко встречающийся.

Множество рассматривается как подпространство с индуцируемой топологией. Его компактность как множества в этом случае равносильно его компактности как пространства. Посему достаточно дать определение компактности пространства и не заморачиваться.

[ewert]

paha в сообщении #301615 писал(а):

Б. Для метрических пространств из секвенциальной компактности следует сепарабельность, а значит (согласно А) и компактность

А я бы сказал наоборот. Из секвенциальной компактности (даже предкомпактности) достаточно очевидно следует "вполне ограниченность". А уж из неё -- вполне очевидна сепарабельность. А вот так, сразу сепарабельность -- неочевидна.

-- Ср мар 24, 2010 10:20:26 --

Профессор Снэйп в сообщении #301672 писал(а):

Множество рассматривается как подпространство с индуцируемой топологией. Его компактность как множества в этом случае равносильно его компактности как пространства. Посему достаточно дать определение компактности пространства и не заморачиваться.

Можно, но идеологически нелепо. Ценность понятия компактности именно в том, что одни подмножества одного и того же пространства могут оказаться компактными, другие же -- нет. Пафос же в том, что эти подмножества вовсе не обязаны наследовать целиком структуру этого пространства -- в ней ведь помимо метрики может быть (и обычно бывает) много чего любопытного.

Да, и ещё. В норме понятие компактности должно идти в паре с предкомпактностью (причём последняя в некотором смысле важнее). Попробуйте-ка определить секвенциальную предкомпактность для всего пространства.

[VoloCh]

ewert в сообщении #301674 писал(а):

Можно, но идеологически нелепо. Ценность понятия компактности именно в том, что одни подмножества одного и того же пространства могут оказаться компактными, другие же -- нет. Пафос же в том, что эти подмножества вовсе не обязаны наследовать целиком структуру этого пространства -- в ней ведь помимо метрики может быть (и обычно бывает) много чего любопытного.

Да, и ещё. В норме понятие компактности должно идти в паре с предкомпактностью (причём последняя в некотором смысле важнее). Попробуйте-ка определить секвенциальную предкомпактность для всего пространства.

Полностью согласен!

-- Ср мар 24, 2010 10:44:27 --

ewert в сообщении #301674 писал(а):

Из секвенциальной компактности (даже предкомпактности) достаточно очевидно следует "вполне ограниченность". А уж из неё -- вполне очевидна сепарабельность. А вот так, сразу сепарабельность -- неочевидна.

Простите, не понял о чем тут речь? Вот есть несепарабельное метрическое пространство. И что? В нем нету разве компактных подмножеств?

[ewert]

VoloCh в сообщении #301682 писал(а):

Простите, не понял о чем тут речь? Вот есть несепарабельное метрическое пространство. И что? В нем нету разве компактных подмножеств?

Есть. Вот они-то и будут сепарабельными внутри себя.

[VoloCh]

ewert в сообщении #301686 писал(а):

VoloCh в сообщении #301682 писал(а):

Простите, не понял о чем тут речь? Вот есть несепарабельное метрическое пространство. И что? В нем нету разве компактных подмножеств?

Есть. Вот они-то и будут сепарабельными внутри себя.

Опять начинается терминологический спор. На мой взгляд понятие сеперабельности (наличие счетного всюду плотного множества) относится исключительно к пространствам. Формально можно отнести и множествам, но это понятие по-моему, несодержательно... хм... где бы это могло использоваться? Да посмотрите Колмогорова-Фомина.

Не просто так же там "полнота" и "сепарабельность" — относится к пространствам. Компактность — к множествам (и к пространствам, как частный случай)!

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #301674 писал(а):

Можно, но идеологически нелепо.

Тем не менее, Вики действует по моему

-- Ср мар 24, 2010 15:35:21 --

VoloCh в сообщении #301698 писал(а):

На мой взгляд понятие сеперабельности (наличие счетного всюду плотного множества) относится исключительно к пространствам. Формально можно отнести и множествам, но это понятие по-моему, несодержательно...

Да какая разница: пространства, множества... Каждое множество будет пространством само по себе.

О каких-то принципиальных свойствах именно для множеств можно говорить лишь тогда, когда в формулировке этих свойств присутствуют и другие подмножества исходного пространства. К примеру, изолированность. А тот "спор", который мы здесь ведём, абсолютно бессодержателен.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #301718 писал(а):

Тем не менее, Вики действует по моему

Ну, с девушками не спорят. Однако даже Вика понимает, что между пространствами и множествами есть всё-таки некоторая разница:

Цитата:

Множество называется относительно компактным или предкомпактным, если его замыкание компактно.