2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Понятия полноты и компактности
Сообщение23.03.2010, 21:28 
terminator-II
Ну так возьмем в качестве подмножества все пространство. Вы утверждаете, что если оно хаусдофово, с первой аксиомой счетности, счетно-компактно, то и просто компактно. Я утверждаю, что это не так. Тем более, что все эти свойства являются внутренними топологическими свойствами - определяются топологией на множестве, и не зависят от того, как оно расположено в объемлющем пространстве.

 
 
 
 Re: Понятия полноты и компактности
Сообщение24.03.2010, 00:06 
Аватара пользователя
Padawan
а разве из счётной компактности компактность не вытекает?(я только недавной этой теоремой пользовался) :| ? или если на счетную компактность наложить условие чтобы про-во было хаусдорфово, то компактность не вытекает? приведите пример если нетрудно...

 
 
 
 Re: Понятия полноты и компактности
Сообщение24.03.2010, 00:51 
Аватара пользователя
Профессор Снэйп в сообщении #301383 писал(а):
Случайно не это понятие имеется в виду?


Да, именно его... $\forall \varepsilon>0$ найдется конечная $\varepsilon$-сеть

 
 
 
 Re: Понятия полноты и компактности
Сообщение24.03.2010, 00:55 
А я исходный вопрос понял совсем по-другому. В нем речь идет исключительно о метрических пространствах. Далее. Прямо в определениях автора мне видится главный ответ о различиях.

Компактность — это свойство множества, а полнота — свойство пространства.

Метрическое пространсво может быть полным или неполным. Множество в пространстве может быть компактным или нет.
Например, пространство действительных чисел $[0;\,1]$ c обычной метрикой — полно. В нем есть компактное множество $[0{,}1;\,0{,}2]$ и некомпактное множество $(0{,}1;\,0{,}2)$
Или: пространство действительных чисел $(0;\ 1)$ c обычной метрикой — неполно. В нем есть компактное множество $[0{,}1;\,0{,}2]$ и некомпактное множество $(0{,}1;\,0{,}2)$.
Пространство $C[0;1]$ непрерывных функций с метрикой $d(x(\cdot),y(\cdot))=\max\limits_{t\in[0;1]}|x(t)-y(t)|$ полно. В нем есть некомпактное множество $\{x(\cdot)\!:\,|x(t)|\leqslant1\}$.
Пространство $C_2[0;1]$ непрерывных функций с метрикой $d(x(\cdot),y(\cdot))=\left[\int\limits_0^1|x(t)-y(t)|^2\,dt\right]^{0{.}5}$ неполно. В нем есть компактное множество $\{x(\cdot)\!:\,|x(t)|\equiv a,\ a\in[0;1]\}$.
Хорхе в сообщении #301227 писал(а):
Конечно же, полнота подпространства метрического пространства следует из секвенциальной компактности. Наоборот нет. Читайте учебник!
А вот это я не понял. Полнота следует из компактности ЧЕГО?

 
 
 
 Re: Понятия полноты и компактности
Сообщение24.03.2010, 01:12 
Аватара пользователя
А. В пространствах со счетной базой компактность и секвенциальная компактность (любая последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность) равносильны.

Хаусдорфовость тут ни разу ни при чем.

Б. Для метрических пространств из секвенциальной компактности следует сепарабельность, а значит (согласно А) и компактность

В. Если $X$ -- компактное топологическое пространство, то
для любой последовательности $\{x_n\}\subset X$ существует точка $a\in X$, что любая открытая окрестность $V$ точки $a$ содержит бесконечно много членов последовательности $\{x_n\}$.
Если $X$ удовлетворяет еще и первой аксиомой счетности, то, очевидно, можно выделить сходящуюся подпоследовательность, т.е. $X$ секвенциально компактно.

 
 
 
 Re: Понятия полноты и компактности
Сообщение24.03.2010, 08:05 
Аватара пользователя
VoloCh в сообщении #301612 писал(а):
Компактность — это свойство множества, а полнота — свойство пространства.

Что за бред? И то, и другое --- свойства пространства.

 
 
 
 Re: Понятия полноты и компактности
Сообщение24.03.2010, 09:49 
Профессор Снэйп в сообщении #301651 писал(а):
И то, и другое --- свойства пространства.

Нет, компактность -- это свойство именно множества. В смысле подмножества всего пространства. И лишь как частный случай компактным может оказаться само пространство. Но это -- очень частный случай и в некотором смысле редко встречающийся.

Другой вопрос, что пространство вполне может оказаться локально компактным. Тут некоторая путаница в терминологии.

VoloCh в сообщении #301612 писал(а):
Полнота следует из компактности ЧЕГО?

Полнота подмножества, рассматриваемого как некое пространство, следует из секвенциальной компактности этого подмножества. Тут никаких учебников не нужно, это тривиальный вывод.

 
 
 
 Re: Понятия полноты и компактности
Сообщение24.03.2010, 10:05 
Этот бред написал автор поста
wagant в сообщении #301226 писал(а):
Компактность: Множество $M \subset X$ метрического пространства $X$ называется компактным, если всякая последовательность в $M$ содержит подпоследовательность, сходящуюся к элементу из $M$.
Полнота: Метрическое пространство $(X, \rho)$ называется полным, если любая фундаментальная последовательность сходится в $X$.
Ну, и еще этот же бред несут Андрей Николаевич с Сергеем Васильевичем. См параграфы 6 и 7 Главы 2. (сс. 98-114 в издании 1981 года)

 
 
 
 Re: Понятия полноты и компактности
Сообщение24.03.2010, 10:12 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #301667 писал(а):
Профессор Снэйп в сообщении #301651 писал(а):
И то, и другое --- свойства пространства.

Нет, компактность -- это свойство именно множества. В смысле подмножества всего пространства. И лишь как частный случай компактным может оказаться само пространство. Но это -- очень частный случай и в некотором смысле редко встречающийся.

Множество рассматривается как подпространство с индуцируемой топологией. Его компактность как множества в этом случае равносильно его компактности как пространства. Посему достаточно дать определение компактности пространства и не заморачиваться.

 
 
 
 Re: Понятия полноты и компактности
Сообщение24.03.2010, 10:15 
paha в сообщении #301615 писал(а):
Б. Для метрических пространств из секвенциальной компактности следует сепарабельность, а значит (согласно А) и компактность

А я бы сказал наоборот. Из секвенциальной компактности (даже предкомпактности) достаточно очевидно следует "вполне ограниченность". А уж из неё -- вполне очевидна сепарабельность. А вот так, сразу сепарабельность -- неочевидна.

-- Ср мар 24, 2010 10:20:26 --

Профессор Снэйп в сообщении #301672 писал(а):
Множество рассматривается как подпространство с индуцируемой топологией. Его компактность как множества в этом случае равносильно его компактности как пространства. Посему достаточно дать определение компактности пространства и не заморачиваться.

Можно, но идеологически нелепо. Ценность понятия компактности именно в том, что одни подмножества одного и того же пространства могут оказаться компактными, другие же -- нет. Пафос же в том, что эти подмножества вовсе не обязаны наследовать целиком структуру этого пространства -- в ней ведь помимо метрики может быть (и обычно бывает) много чего любопытного.

Да, и ещё. В норме понятие компактности должно идти в паре с предкомпактностью (причём последняя в некотором смысле важнее). Попробуйте-ка определить секвенциальную предкомпактность для всего пространства.

 
 
 
 Re: Понятия полноты и компактности
Сообщение24.03.2010, 10:38 
ewert в сообщении #301674 писал(а):
Можно, но идеологически нелепо. Ценность понятия компактности именно в том, что одни подмножества одного и того же пространства могут оказаться компактными, другие же -- нет. Пафос же в том, что эти подмножества вовсе не обязаны наследовать целиком структуру этого пространства -- в ней ведь помимо метрики может быть (и обычно бывает) много чего любопытного.

Да, и ещё. В норме понятие компактности должно идти в паре с предкомпактностью (причём последняя в некотором смысле важнее). Попробуйте-ка определить секвенциальную предкомпактность для всего пространства.

Полностью согласен!

-- Ср мар 24, 2010 10:44:27 --

ewert в сообщении #301674 писал(а):
Из секвенциальной компактности (даже предкомпактности) достаточно очевидно следует "вполне ограниченность". А уж из неё -- вполне очевидна сепарабельность. А вот так, сразу сепарабельность -- неочевидна.
Простите, не понял о чем тут речь? Вот есть несепарабельное метрическое пространство. И что? В нем нету разве компактных подмножеств?

 
 
 
 Re: Понятия полноты и компактности
Сообщение24.03.2010, 10:48 
VoloCh в сообщении #301682 писал(а):
Простите, не понял о чем тут речь? Вот есть несепарабельное метрическое пространство. И что? В нем нету разве компактных подмножеств?

Есть. Вот они-то и будут сепарабельными внутри себя.

 
 
 
 Re: Понятия полноты и компактности
Сообщение24.03.2010, 11:08 
ewert в сообщении #301686 писал(а):
VoloCh в сообщении #301682 писал(а):
Простите, не понял о чем тут речь? Вот есть несепарабельное метрическое пространство. И что? В нем нету разве компактных подмножеств?

Есть. Вот они-то и будут сепарабельными внутри себя.
Опять начинается терминологический спор. На мой взгляд понятие сеперабельности (наличие счетного всюду плотного множества) относится исключительно к пространствам. Формально можно отнести и множествам, но это понятие по-моему, несодержательно... хм... где бы это могло использоваться? Да посмотрите Колмогорова-Фомина.

Не просто так же там "полнота" и "сепарабельность" — относится к пространствам. Компактность — к множествам (и к пространствам, как частный случай)!

 
 
 
 Re: Понятия полноты и компактности
Сообщение24.03.2010, 12:32 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #301674 писал(а):
Можно, но идеологически нелепо.

Тем не менее, Вики действует по моему :)

-- Ср мар 24, 2010 15:35:21 --

VoloCh в сообщении #301698 писал(а):
На мой взгляд понятие сеперабельности (наличие счетного всюду плотного множества) относится исключительно к пространствам. Формально можно отнести и множествам, но это понятие по-моему, несодержательно...

Да какая разница: пространства, множества... Каждое множество будет пространством само по себе.

О каких-то принципиальных свойствах именно для множеств можно говорить лишь тогда, когда в формулировке этих свойств присутствуют и другие подмножества исходного пространства. К примеру, изолированность. А тот "спор", который мы здесь ведём, абсолютно бессодержателен.

 
 
 
 Re: Понятия полноты и компактности
Сообщение24.03.2010, 12:40 
Профессор Снэйп в сообщении #301718 писал(а):

Ну, с девушками не спорят. Однако даже Вика понимает, что между пространствами и множествами есть всё-таки некоторая разница:

Цитата:
Множество называется относительно компактным или предкомпактным, если его замыкание компактно.

 
 
 [ Сообщений: 76 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group