помогите найти предел:

[talian2012]

$\lim\limits_{x \to \infty}\left(x\left(1+\frac{1}{|x|}\right)^{|x|}-e*x\right)$

[Henrylee]

Вы все про асимптоты? вынесите $x$ в знаменатель, разок по Лопиталю, а потом числитель в виде конечной суммы степеннго ряда , парочки слагаемых хватит.

[talian2012]

да, я все о асимптотах,

Цитата:

вынесите $x$ в знаменатель

как это сделать?
если это то о чем я подумал, то есть сделать так:
$\lim\limits_{x \to \infty}\frac{x^2\left(\left(1+\frac{1}{|x|}\right)^{|x|}-e\right)}{x}$, теперь берем производную от числителя, и знаменателя получается:
$\lim\limits_{x \to \infty}\left(2x\left(1+\frac{1}{|x|}\right)^{|x|}-e\right)+x^2\left(1+\frac{1}{|x|}\right)^{|x|}\left(\frac{x}{|x|}\ln\left(1+\frac{1}{|x|}\right)+\frac{x^2}{|x|+1}\right)\right)$
и что оно нам дает?

[ewert]

Для начала сделайте замену ${1\over x}=t$, всё заметно приятственнее станет.

[Henrylee]

talian2012 в сообщении #300617 писал(а):

да, я все о асимптотах,

Цитата:

вынесите $x$ в знаменатель

как это сделать?

вообще я имел в виду сделать в знаменателе $1/x$.

[talian2012]

ewert в сообщении #300621 писал(а):

Для начала сделайте замену ${1\over x}=t$, всё заметно приятственнее станет.

если иак, то после взятия производной получается :
$\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}*\left(\frac{x}{1+x}-\ln(1+x)\right)}{x^2}$

[ewert]

допустим (лень проверять). Если так, то временно выкиньте нафик первый сомножитель в числителе (как стремящийся не к нулю и не к бесконечности) и ещё пару раз пролопитальте Выкидывая по ходу дела аналогично несущественные сомножители. Всё станет прекрасно.

(А ещё прекраснее в подобных ситуациях применять формулу Тейлора последовательными подстановками -- там вообще всё в уме выходит.)