Степенное диофантово уравнение

[Руст]

Решить в целых числах:
$3^k+5^k=n^m,m>1.$

[Anar Yusifov]

А что ищем? к?

[Руст]

Ищем k,n,m.

[bot]

Раз, два, три - очевидно, а дальше не думал.

[maxal]

Во-первых, заметим, что $n$ обязано быть четно. Тогда, рассматривая уравнение по модулю 4, получаем, что $k$ - нечетно, а поэтому

$$3^k + 5^k = (4-1)^k + (4+1)^k \equiv 8k\equiv 8\pmod{16}$$

.
Отсюда немедленно следует, что $m=3$ и $n=2t$, где $t$ - нечетное.

Очевидно, что $k=t=1$ является решением уравнения $3^k + 5^k = 8 t^3$. Других решений у него нет, что можно установить, например, рассматривая это уравнение по модулю 15624.

[ИСН]

maxal писал(а):

Рассматривая уравнение $3^k + 5^k = 8 t^3$ по модулю 15624...

Когда с неба сваливаются такие числа, это всегда звучит как цитата из какого-нибудь бородатого анекдота про математиков ("Ну, коллега, это же совершенно очевидно...").

[maxal]

ИСН писал(а):

maxal писал(а):

Рассматривая уравнение $3^k + 5^k = 8 t^3$ по модулю 15624...

Когда с неба сваливаются такие числа, это всегда звучит как цитата из какого-нибудь бородатого анекдота про математиков ("Ну, коллега, это же совершенно очевидно...").

Число 15624 выбрано так, что оно, во-первых, равно $5^6-1$ (то есть период степеней 5-ки по его модулю мал), а, во-вторых, делится на $3^2$ (что не дает решению $3+5=8$ распространяться на большие степени $k$).
Отсутствие других решений рассматриваемого уравнения при этом устанавливается на компьютере тупым прогоном всех возможных $k$ и всех возможных $t$.

[Руст]

Решается безо всяких прогонов на компьютере.

[maxal]

С компьютером быстрее. Дело пары минут.
Тем, кому интересен подобный метод доказательства - см. http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=48431

[Highwind]

maxal писал(а):

Отсутствие других решений рассматриваемого уравнения при этом устанавливается на компьютере тупым прогоном всех возможных $k$ и всех возможных $t$.

На компутере? "Шоб зло пресечь, собрать все эти компы и сжечь" (с-цопирайт). Енто не математиский подход... я бы даже сказал антиматематиский

[maxal]

Highwind писал(а):

На компутере? "Шоб зло пресечь, собрать все эти компы и сжечь" (с-цопирайт). Енто не математиский подход... я бы даже сказал антиматематиский

И что же в нем такого антиматематического?
Все то же самое можно проделать с ручкой и бумажкой, просто на компьютере получится гораздо быстрее.

[Highwind]

maxal писал(а):

И что же в нем такого антиматематического?
Все то же самое можно проделать с ручкой и бумажкой, просто на компьютере получится гораздо быстрее.

Антиматематический он в том, что без компьютера этот "тупой" прогон займет очень много времени, а наверняка есть более изящные способы. Собственно, каков прогон, таково и решение.

[maxal]

Highwind писал(а):

Антиматематический он в том, что без компьютера этот "тупой" прогон займет очень много времени, а наверняка есть более изящные способы. Собственно, каков прогон, таково и решение.

Не соглашусь. Сведение к конечному перебору - это путь решения многих задач (самый известный пример - проблема 4-х красок), так что ничего антиматематического в нем нет.
А насчет более/менее изящных способов - это вопрос скорее эстетики.

[Руст]

Так как справа куб числа не делящегося на 3, то остаток при делении на 9 может быть равным 1 или 8, т.е. (при k>1) $5^k=1 \ or \ 8 (mod \ 9)$. Отсюда следует, что k делится на 3. Учитывая, что $3^{3l}+5^{3l}=(3^l+5^l)(3^{2l}-3^l5^l+5^{2l})$ и сомножители взаимно просты получаем, что каждый из них куб. Таким образом, доходим, что кубом является и число, когда k не делится на 3. А этого не может быть при k>1 согласно проверке по остаткам по модулю 9, как ранее установили.

[Highwind]

maxal писал(а):

Не соглашусь. Сведение к конечному перебору - это путь решения многих задач (самый известный пример - проблема 4-х красок), так что ничего антиматематического в нем нет.
А насчет более/менее изящных способов - это вопрос скорее эстетики.

Ну дык и я об том же. Собстна, когда надо шо-то перебрать, это чаще какая-то практическая и не очень интересная с точки зрения математики задача, но решить которую надыть позарез, а то завтра газ перекроють . А когда надыть решить такую задачу, то подразумевается, что решение должно быть сколько-нибудь красивым.