Для каждого значения
![$\alpha\in f(\mathbb R)$ $\alpha\in f(\mathbb R)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/5/5/8552bb8ac691496a95f841addc17506582.png)
выберем
![$x_\alpha\in f^{-1}(\alpha)$ $x_\alpha\in f^{-1}(\alpha)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/3/0030dcc0cad2dcc5560ce647f919e1a382.png)
(т.е.
![$f(x_\alpha)=\alpha$ $f(x_\alpha)=\alpha$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/7/c27b06a3a18512d2c7f1a9d3b2fb77e582.png)
). Надо доказать, что множество
![$A:=\{x_\alpha\mid\alpha\in f(\mathbb R)\}$ $A:=\{x_\alpha\mid\alpha\in f(\mathbb R)\}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/7/ba7546e81a5102081fb6c0d883dad80382.png)
не более чем счётно. Представим его в виде
![$A=B\cup C$ $A=B\cup C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/9/7/597ef0210a2393504e2629f76669123382.png)
, где
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
--- точки локального максимума,
![$C$ $C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/3/9b325b9e31e85137d1de765f43c0f8bc82.png)
--- точки локального минимума. Докажем, что
![$|B|\le\aleph_0$ $|B|\le\aleph_0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/b/01b9672e9d7a640822541ec6a4ec49fd82.png)
(для
![$C$ $C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/3/9b325b9e31e85137d1de765f43c0f8bc82.png)
докво аналогично). По условию, каждому
![$x\in B$ $x\in B$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/3/cd344cd7177f1ded800f0a82f387eac882.png)
можно сопоставить
![$\delta(x)>0$ $\delta(x)>0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/6/f26e00cc3e5d57dada4abc996f7f2a6382.png)
, что для любого
![$y\in B_{\delta(x)}[x]:=[x-\delta(x);x+\delta(x)]$ $y\in B_{\delta(x)}[x]:=[x-\delta(x);x+\delta(x)]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/b/19b97518279f2685f51bd966a6d0907c82.png)
выполнено
![$f(y)\le f(x)$ $f(y)\le f(x)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/b/9/8b9ed7727b467e58a821700ea264245d82.png)
. Тогда
![$B=\bigcup_{n=1}^\infty B_{1/n}$ $B=\bigcup_{n=1}^\infty B_{1/n}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/2/842aa6523395d740b55ad7b06b77060882.png)
, где
![$B_\epsilon:=\{x\in B\mid \delta(x)\ge2\epsilon\}$ $B_\epsilon:=\{x\in B\mid \delta(x)\ge2\epsilon\}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/7/187a26e9bd9bca65739496e2680cf8af82.png)
. Докажем, что каждое
![$B_\epsilon$ $B_\epsilon$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/b/7aba6ec5f23aea7be684c9460b6b083a82.png)
не более чем счётно. Для этого заметим, что если
![$x,y\in B_{\epsilon}$ $x,y\in B_{\epsilon}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/e/4fe5e5b6167d48a941351693e7368afc82.png)
,
![$x\ne y$ $x\ne y$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/3/3a3b07df982b88996400b1c703afd9ed82.png)
, то
![$B_{\epsilon}[x]\cap B_\epsilon[y]=\varnothing$ $B_{\epsilon}[x]\cap B_\epsilon[y]=\varnothing$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/2/8122662072883e35f759c363f7f26e3682.png)
(поскольку в противном случае
![$|x-y|\le2\epsilon\le\min(\delta(x),\delta(y))$ $|x-y|\le2\epsilon\le\min(\delta(x),\delta(y))$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/7/1f7178e79cdf0d943d0ad37f9130739482.png)
, поэтому
![$f(x)\le f(y)$ $f(x)\le f(y)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/e/cbec7605c09cf8d5a67f06d9b7dce0a182.png)
и
![$f(y)\le f(x)$ $f(y)\le f(x)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/b/9/8b9ed7727b467e58a821700ea264245d82.png)
, т.е.
![$f(x)=f(y)$ $f(x)=f(y)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/0/e/10e0977d7bf4a72eeabec730e6af2fe982.png)
, но мы изначально профакторизовали, чтобы избежать равных значений). Выбирая в каждом
![$B_\epsilon[x]$ $B_\epsilon[x]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/0/2/20239659e5a25d78f820c153ba27316782.png)
,
![$x\in B_\epsilon$ $x\in B_\epsilon$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/1/e817a7574c52a47f2f3b86b12f532e0882.png)
, по рациональной точке, получаем, что
![$B_\epsilon$ $B_\epsilon$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/b/7aba6ec5f23aea7be684c9460b6b083a82.png)
равномощно некоторому подмножеству
![$\mathbb Q$ $\mathbb Q$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/b/bdbd92626a92a3c147815182b3c9ff2d82.png)
.
(Оффтоп)
Написанное док-во использует аксиому выбора. Если я не прогнал, то его можно чуть-чуть поменять, так чтобы аксиома выбора (даже её счётный вариант) совсем не использовалась, но мне лень заниматься подобными извращениями.