Функционалы, Хан - Банах

[ShMaxG]

Возник следующий вопрос.

Пусть $X$ - линейное нормированное пространство, на котором определен непрерывный линейный функционал $f$. Пусть ядро этого функционала не тривиально. И путь точка $y \in X$, но $\[y \notin \operatorname{Ker} f\] $. Тогда существует функционал (непр. и лин.) $u$, определенный на $X$, который равен нулю на $\operatorname{Ker} f$ и $u(y) = f(y)$.

Вопрос: а будут ли тогда эти функционалы вообще совпадать?

[terminator-II]

да, будут

[Padawan]

Да, линейный функционал с точностью до линейного множителя определяется гиперпространством нулей. И это верно для произвольных линейных пространств (без топологии).

[terminator-II]

и Хан-Банах тут нипричем

[ShMaxG]

Padawan
А, да, есть такое дело.
Спасибо.

[Профессор Снэйп]

ShMaxG в сообщении #299694 писал(а):

Пусть ядро этого функционала не тривиально.

Что это означает?

Ядро каждого линейного функционала либо является подпространством коразмерности $1$ (замкнутым в том и только в том случае, когда функционал непрерывен), либо (в вырожденном случае нулевого функционала) совпадает со всем пространством. Вероятно, под "тривиальностью" понимается случай $\mathrm{Ker}(f) = X$. Так?

ShMaxG в сообщении #299694 писал(а):

И путь точка $y \in X$, но $\[y \notin \operatorname{Ker} f\] $. Тогда существует функционал (непр. и лин.) $u$, определенный на $X$, который равен нулю на $\operatorname{Ker} f$ и $u(y) = f(y)$.

Конечно же, будет $u = f$ (и Хан-Банах, как было справедливо замечено, совершенно не при чём). Это сразу следует из равенства $X = \mathrm{Ker}(f) \oplus \langle y \rangle$ (здесь имеется в виду внутренняя прямая сумма, в которой второе слагаемое является линейной оболочкой вектора $y$).

[AD]

Да-да, всё так

(Оффтоп)

В смысле опять без меня всё обсудили

[terminator-II]

в связи с этим еще можно вспомнить, что если $B:L\to V$ и $A:L\to N$ -- линейные операторы на линейных пространствах, причем $\ker A\subseteq\ker B$ то существует оператор $\Lambda :\mathrm{im}\, A\to V$ такой, что $B=\Lambda A$ Это в качестве задачи топикстартеру

[ShMaxG]

Да Хана и Банаха вспомнил, потому что существование функционала следует из соотв. теоремы.

terminator-II

Пока удалось показать для функционалов: из того, что $\[{f_1}\left( x \right) = ... = {f_n}\left( x \right) = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = 0\]$ следует, что существуют $\[{a_k}\]$, такие, что: $\[f\left( x \right) = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}{f_k}\left( x \right)} \] $ для любого икса из пространства.

-- Сб мар 20, 2010 17:19:43 --

Профессор Снэйп
Под тривиальностью я понимаю равенство нулю. Но это был действительно глюк, никакая тривиальность здесь даже не нужна.

[Профессор Снэйп]

ShMaxG в сообщении #299812 писал(а):

Но это был действительно глюк, никакая тривиальность здесь даже не нужна.

Если $f$ тривиален, то $y$ с нужным свойством не сможете выбрать

[ShMaxG]

С операторами тоже все просто получается. Фактически, надо переводить элементы из образа $A$ в $V$ тупым образом: взять элемент из $\mathrm{im}A$, подействовать на него $A^{-1}$. Получим некоторое множество (состоящее из суммы какого-то элемента и ядра $A$), на которое подействуем оператором $B$, который их переведет тоже в один элемент, потому что его ядро содержит ядро оператора $A$. Полученный оператор $\Lambda$ будет непрерывным, так как переводит открытые множества в открытые по теореме об открытом отображении.

[Профессор Снэйп]

ShMaxG в сообщении #299812 писал(а):

terminator-II

Пока удалось показать для функционалов: из того, что $\[{f_1}\left( x \right) = ... = {f_n}\left( x \right) = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = 0\]$ следует, что существуют $\[{a_k}\]$, такие, что: $\[f\left( x \right) = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}{f_k}\left( x \right)} \] $ для любого икса из пространства.

К чему это? Там ведь не о функционалах речь идёт.

Проще всё гораздо! Задайте $\Lambda$ явным образом и проверьте аксиомы.

-- Сб мар 20, 2010 20:58:05 --

ShMaxG в сообщении #299835 писал(а):

С операторами тоже все просто получается.

Можно ещё обобщить задачу. Пусть $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$ и $\mathfrak{C}$ --- модели одной и той же функционально-константной сигнатуры, $\varphi: \mathfrak{A} \to \mathfrak{B}$ --- гомоморфизм, $\psi : \mathfrak{A} \to \mathfrak{C}$ --- эпиморфизм и $\psi(x) = \psi(y) \Rightarrow \varphi(x) = \varphi(y)$ для любых $x,y$ из (носителя) $\mathfrak{A}$. Тогда существует единственный гомоморфизм $\eta : \mathfrak{C} \to \mathfrak{B}$ со свойством $\varphi = \eta \circ \psi$. И немедленное следствие отсюда: фактор по ядру изоморфен образу.

[ewert]

ShMaxG в сообщении #299835 писал(а):

Полученный оператор $\Lambda$ будет непрерывным, так как переводит открытые множества в открытые по теореме об открытом отображении.

До сих пор да, а вот это уже нехорошо. Представьте себе, что ядра вообще тривиальны. Тогда по симметрии утверждения получается, что оператор между образами ограничен в обе стороны. А с какой стати?...

[ShMaxG]

ewert
Это я невольно воспользовался непрерывностью операторов $A$ и $B$. Без этого даже не знаю, как быть.

Профессор Снэйп
Линейный функционал это частный случай линейного оператора. Просто я решил задачу с функционалами до того, как terminator-II эту задачу предложил (упражнение в Колмогорове). Проехали, в общем.

[Профессор Снэйп]

А верно ли, что если ядро линейного оператора замкнуто, то он непрерывен?