помогите пожалуйста решить задачу по ТЧ

[beha89]

как найти число целых точек в области?

[Xaositect]

В какой области?

[maxmatem]

Раз не сказано в какой области, то предложу следующее:
Рассмотрим на плоскости решетку состоящею из точек с целочисленных координатами $(x;y)$.
пусть ф-я $f(x)$ неотрецательна и непрерывна на [a,b]. количество точек обозначим ч\з $N$.
тогда число искомых точек лежащие в криволинейной трапеции образованной функцией $f(x)$
$\[\left\{ \begin{gathered} a \leqslant x \leqslant b \hfill \\ 0 \leqslant y \leqslant f(x) \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$

$\[N = \sum\limits_{a \leqslant i \leqslant b}^{} {[f(i)]} \]$

$[]$-целая часть.

[Sonic86]

beha89 писал(а):

как найти число целых точек в области?

Если Вы имеете ввиду область вообще, то это достаточно сложно, в общем виде перебором. Например, существование решений задачи ЦЛП для некоторой области равносильно Вашей задаче - можете там посмотреть. Для областей какого-нибудь частного вида может быть проще, напр., как у maxmatem - в криволинейной трапеции.

[Профессор Снэйп]

(Оффтоп)

Xaositect в сообщении #298487 писал(а):

В какой области?

В Новосибирской

[bot]

(Оффтоп)

Вчера ещё до Xaositectа сунулся в профиль ТС , чтобы узнать из какой он местности, но там не указано и от оффтопа удержался.

Для выпуклой области число точек с целочисленными координатами можно оценить площадью области. Если плоская область ограничена многоугольником, то имеется точная связь площади и числа точек с целочисленными координатами, лежащими внутри и на границе.

[beha89]

Xaositect в сообщении #298487 писал(а):

В какой области?

надо найти число целых точек внутри петли, для графика $x^2 y^2=(a+y)^2 (b^2-y^2)$ (уравнение Канхоида Никомеда). при b=const, a $\to\infty $ ?

[Sonic86]

Я в конхоидах не разбираюсь, но по-моему, Вы уравнение конхоиды записали неверно. В Википедии так:
$l^2y^2=(x^2+y^2)(y+a)^2$.
Не могу понять, где тут параметр $b$ теперь.
Но решать надо, наверное, так, находите предельный образ кривой, смотрите, какую область она ограничивает и находите там число целых точек.

[beha89]

я тоже когда-то поискал и нашел, что уравнение совсем другое, но мне сказали что именно для этого уравнение надо найти. А вот как отделить петлю от остальных частей графики?

[gris]

bot, по-моему, связь односторонняя - по количеству целых точек можно оценить площадь выпуклой области. А вот в другую сторону? Если взять узкий прямоугольник? Или же имеется в виду, что область можно двигать и поворачивать по координатной плоскости? да, скорее всего это так.

Это конхоида оси абсцисс.
Если рассмотреть уравнение $x^2 y^2=(a+y)^2 (b^2-y^2)$ , то можно заметить, что $x$ можно выразить как функцию от $y$. И видно, что при достаточно больших значениях $a$ там не образуется никакой петли.

[Sonic86]

Так, ну в данном случае можно выразить $x$ как $\pm f(y)$. Соответственно, точки самопересечения находятся среди точек $f(y)=0$ - там их надо перебором выбрать (одна будет). Петля находится между двумя нулями $f(y)$
$f(y)$ определена при $|y| \leq b$. Поэтому при $a \to + \infty$ петля уползет за область определения. Кроме того, $y+a \to a$ - подставьте и получится уравнение предельной кривой.
Напишите, в общем, что получилось.

[bot]

gris в сообщении #299291 писал(а):

bot, по-моему, связь односторонняя - по количеству целых точек можно оценить площадь выпуклой области.

Связь двусторонняя - просто я умолчал, что вершины многоугольника (выпуклость необязательна) имеют целочисленные координаты.
Вот она: $P-S=1$
Здесь $S - $ площадь, а $P - $ число точек, сосчитанное как сумма единиц и половинок по правилу: точке внутри соответствует единица, а точке на границе - половина.
Похоже, эту формулу можно использовать для разных асимптотик и верю - это делалось.

[ewert]

bot в сообщении #299311 писал(а):

Похоже, эту формулу можно использовать для разных асимптотик и верю - это делалось.

А зачем?...
Если область не экзотична, то количество точек на границе (и даже вблизи) равно, грубо говоря, нулю.
Да и в любом случае учитывать их бессмысленно -- для любой области, кроме целочисленных многоугольников, граничные точки не контролируемы. Эта формула -- экзотика в чистом виде.