Непрерывные функции

[Хорхе]

RIP в сообщении #239070 писал(а):

Цитата:

Не каждое значение, конечно же, а каждое, кроме минимального и максимального

Вроде бы каждое. Но я про теорему слышал только краем уха, так что наверняка не скажу. А почему "конечно же"?

Функции, принимающие максимальное или минимальное значение хотя бы в двух разных точках, образуют тощее множество. Вроде бы это легко доказывается.

-- Чт сен 03, 2009 10:24:34 --

Ну да, множество функций, которые принимают максимальное значение в двух точках, удаленных не менее, чем на $1/n$, нигде не плотно.

[RIP]

Существует ли непрерывная функция $f\colon[0;1]\to\mathbb R$, принимающая каждое своё значение счётное число раз?

[Профессор Снэйп]

Интересна, а вот эта функция сколько имеет прообразов $\in [0,1]$ для каждого значения?

[Cave]

RIP в сообщении #284689 писал(а):

Существует ли непрерывная функция $f\colon[0;1]\to\mathbb R$, принимающая каждое своё значение счётное число раз?

А какой ответ?

[RIP]

Cave в сообщении #298373 писал(а):

А какой ответ?

Честно сказать, не знаю. Поэтому и сформулировал в виде вопроса, а не "Доказать, что...". Долгое время мне казалось "интуитивно очевидным", что такое невозможно, но ни доказать, ни опровергнуть это мне не удалось; сейчас я не склоняюсь ни к какому определённому ответу (хотя меня по-прежнему не покидает ощущение, что задача должна быть простой).

[Padawan]

Есть теорема, близкая к обсуждаемому вопросу - теорема Банаха об индикатрисе.

Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$. обозначим через $N(y)$ число корней уравнения $f(x)=y$ (возможно $0$ или $+\infty$) -- индикатриса функции $f$.

Теорема Банаха. Функция $N(y)$ измерима и

$$\int_{-\infty}^{+\infty}N(y)dy=\operatorname{\bigvee}\limits_{a}^{b}f$$

В Натансоне есть.

[Профессор Снэйп]

RIP в сообщении #298417 писал(а):

Честно сказать, не знаю. Поэтому и сформулировал в виде вопроса, а не "Доказать, что...". Долгое время мне казалось "интуитивно очевидным", что такое невозможно, но ни доказать, ни опровергнуть это мне не удалось; сейчас я не склоняюсь ни к какому определённому ответу (хотя меня по-прежнему не покидает ощущение, что задача должна быть простой).

Я тоже целый день проходил загруженный этой задачей. Сначало казалось, что всё должно быть просто и очевидно, но, увы...

Кстати, вопрос насчёт пилы Вейерштрасса. Что с ней?

-- Чт мар 18, 2010 11:22:36 --

Padawan в сообщении #298507 писал(а):

Есть теорема, близкая к обсуждаемому вопросу - теорема Банаха об индикатрисе.

Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$. обозначим через $N(y)$ число корней уравнения $f(x)=y$ (возможно $0$ или $+\infty$) -- индикатриса функции $f$.

Теорема Банаха. Функция $N(y)$ измерима и

$$\int_{-\infty}^{+\infty}N(y)dy=\operatorname{\bigvee}\limits_{a}^{b}f$$

В Натансоне есть.

А что здесь $\bigvee$ обозначает?

[Padawan]

Полная вариация

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #298956 писал(а):

Полная вариация

У-у-у, я такого даже не знаю

[Cave]

У функции Вейерштрасса минимум и максимум на отрезке достигаются конечное число раз.
Насчёт остальных значений не знаю, может быть, есть такие $a,b$, что они все принимаются счётное число раз.

[RIP]

Профессор Снэйп в сообщении #298890 писал(а):

Кстати, вопрос насчёт пилы Вейерштрасса. Что с ней?

Ответ тот же: фиг её знает. Что минимум и максимум принимаются конечное число раз, это похоже, что так, но это не проблема ни разу, коль скоро все остальные значения принимались бы счётное число. Я вот даже не уверен, что она свои значения принимает не более чем счётное число раз (уж больно она фрактальна), но сильно не думал над этим.

Кстати, недавно столкнулся с непрерывной функцией, которая в каждой рациональной точке имеет строгий локальный максимум. Долго пытался себе это представить визуально, но так и не смог.

[id]

По поводу задачи RIP.
1. Где-то видел построение функции, принимающей каждое свое значение счетное число раз. С кривой Пеано, кстати.

Вот только сейчас я это наверняка не припомню, поэтому попробовал придумать свое.

2. А не прокатит ли это:

Берем обычную канторову лестницу. На самом большом промежутке постоянства рисуем два кусочно-линейных зубчика, до $y=0$ и $y=1$ соответственно. $y=\frac 1 2$ остается в $\{ \frac 1 3, \frac 1 2, \frac 2 3\}$.
Далее, рассматриваем 2 промежутка постоянства длины $\frac 1 9$, строим зубчики от $0$ до $\frac 1 2$ и от $\frac 1 2$ до $1$ для левого и правого промежутка соответственно.
Продолжаем в том же духе.
В точках канторова множества оставляем первичные значения канторовой лестницы.

[RIP]

Хмм, очень похоже. Действительно, всё просто оказалось.

Интересно, а для $\aleph_1$ такая функция найдётся?..