2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Непрерывные функции
Сообщение03.09.2009, 09:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
RIP в сообщении #239070 писал(а):
Цитата:
Не каждое значение, конечно же, а каждое, кроме минимального и максимального :)

Вроде бы каждое. Но я про теорему слышал только краем уха, так что наверняка не скажу. А почему "конечно же"?

Функции, принимающие максимальное или минимальное значение хотя бы в двух разных точках, образуют тощее множество. Вроде бы это легко доказывается.

-- Чт сен 03, 2009 10:24:34 --

Ну да, множество функций, которые принимают максимальное значение в двух точках, удаленных не менее, чем на $1/n$, нигде не плотно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывные функции
Сообщение31.01.2010, 00:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Существует ли непрерывная функция $f\colon[0;1]\to\mathbb R$, принимающая каждое своё значение счётное число раз?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывные функции
Сообщение31.01.2010, 11:42 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Интересна, а вот эта функция сколько имеет прообразов $\in [0,1]$ для каждого значения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывные функции
Сообщение16.03.2010, 19:53 


02/07/08
322
RIP в сообщении #284689 писал(а):
Существует ли непрерывная функция $f\colon[0;1]\to\mathbb R$, принимающая каждое своё значение счётное число раз?


А какой ответ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывные функции
Сообщение16.03.2010, 22:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Cave в сообщении #298373 писал(а):
А какой ответ?
Честно сказать, не знаю. Поэтому и сформулировал в виде вопроса, а не "Доказать, что...". Долгое время мне казалось "интуитивно очевидным", что такое невозможно, но ни доказать, ни опровергнуть это мне не удалось; сейчас я не склоняюсь ни к какому определённому ответу (хотя меня по-прежнему не покидает ощущение, что задача должна быть простой).

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывные функции
Сообщение17.03.2010, 07:51 
Заслуженный участник


13/12/05
4620
Есть теорема, близкая к обсуждаемому вопросу - теорема Банаха об индикатрисе.

Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$. обозначим через $N(y)$ число корней уравнения $f(x)=y$ (возможно $0$ или $+\infty$) -- индикатриса функции $f$.

Теорема Банаха. Функция $N(y)$ измерима и $$\int_{-\infty}^{+\infty}N(y)dy=\operatorname{\bigvee}\limits_{a}^{b}f$$

В Натансоне есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывные функции
Сообщение18.03.2010, 08:21 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
RIP в сообщении #298417 писал(а):
Честно сказать, не знаю. Поэтому и сформулировал в виде вопроса, а не "Доказать, что...". Долгое время мне казалось "интуитивно очевидным", что такое невозможно, но ни доказать, ни опровергнуть это мне не удалось; сейчас я не склоняюсь ни к какому определённому ответу (хотя меня по-прежнему не покидает ощущение, что задача должна быть простой).

Я тоже целый день проходил загруженный этой задачей. Сначало казалось, что всё должно быть просто и очевидно, но, увы...

Кстати, вопрос насчёт пилы Вейерштрасса. Что с ней?

-- Чт мар 18, 2010 11:22:36 --

Padawan в сообщении #298507 писал(а):
Есть теорема, близкая к обсуждаемому вопросу - теорема Банаха об индикатрисе.

Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$. обозначим через $N(y)$ число корней уравнения $f(x)=y$ (возможно $0$ или $+\infty$) -- индикатриса функции $f$.

Теорема Банаха. Функция $N(y)$ измерима и $$\int_{-\infty}^{+\infty}N(y)dy=\operatorname{\bigvee}\limits_{a}^{b}f$$

В Натансоне есть.

А что здесь $\bigvee$ обозначает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывные функции
Сообщение18.03.2010, 11:46 
Заслуженный участник


13/12/05
4620
Полная вариация

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывные функции
Сообщение18.03.2010, 12:10 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Padawan в сообщении #298956 писал(а):
Полная вариация

У-у-у, я такого даже не знаю :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывные функции
Сообщение18.03.2010, 12:25 


02/07/08
322
У функции Вейерштрасса минимум и максимум на отрезке достигаются конечное число раз.
Насчёт остальных значений не знаю, может быть, есть такие $a,b$, что они все принимаются счётное число раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывные функции
Сообщение18.03.2010, 16:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Профессор Снэйп в сообщении #298890 писал(а):
Кстати, вопрос насчёт пилы Вейерштрасса. Что с ней?
Ответ тот же: фиг её знает. Что минимум и максимум принимаются конечное число раз, это похоже, что так, но это не проблема ни разу, коль скоро все остальные значения принимались бы счётное число. Я вот даже не уверен, что она свои значения принимает не более чем счётное число раз (уж больно она фрактальна), но сильно не думал над этим.

Кстати, недавно столкнулся с непрерывной функцией, которая в каждой рациональной точке имеет строгий локальный максимум. Долго пытался себе это представить визуально, но так и не смог. :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывные функции
Сообщение18.03.2010, 19:27 
Заслуженный участник


05/06/08
1097
По поводу задачи RIP.
1. Где-то видел построение функции, принимающей каждое свое значение счетное число раз. С кривой Пеано, кстати.

Вот только сейчас я это наверняка не припомню, поэтому попробовал придумать свое.

2. А не прокатит ли это:

Берем обычную канторову лестницу. На самом большом промежутке постоянства рисуем два кусочно-линейных зубчика, до $y=0$ и $y=1$ соответственно. $y=\frac 1 2$ остается в $\{ \frac 1 3, \frac 1 2, \frac 2 3\}$.
Далее, рассматриваем 2 промежутка постоянства длины $\frac 1 9$, строим зубчики от $0$ до $\frac 1 2$ и от $\frac 1 2$ до $1$ для левого и правого промежутка соответственно.
Продолжаем в том же духе.
В точках канторова множества оставляем первичные значения канторовой лестницы.

:?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывные функции
Сообщение18.03.2010, 21:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Хмм, очень похоже. Действительно, всё просто оказалось. :)

Интересно, а для $\aleph_1$ такая функция найдётся?..

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group