Две задачи по геометрии

[firex]

Наверное простые, но тем не менее хотелось бы услышать решение ...
1) Найти центр тяжести проволочного треугольника
2) Доказать, что любой овал, если он содержит точки (1 : \pm i : 0), то он окружность.

В принципе с первой понятно как действовать, но мне кажется это громоздко ... не знаю ... может можно как-то просто ? В ответе написано : Точка пересечения биссектрис треугольника образованного из средних линий. Понятно, что можно ввести координаты, найти координаты центра тяжести, но мне например из координат не видно что это геометрически эта точка.

Во второй мне только ясно что любая окружность содержит эти точки.

И еще, что можно почитать хорошее по проективной геометрии ... ?

[mitia87]

По первой. "Школьный" способ.
Всю массу каждой стороны перемещаете в середину. Таким образом вся масса сосредоточена в трех серединах сторон. Находите центр масс двух из трех точек. Он лежит на отрезке между ними и делит его на обратно пропорциональные массам части. А теперь покажите, что именно в таком отношении этот отрезок делит биссектриса.

[ewert]

firex в сообщении #298651 писал(а):

Во второй мне только ясно что любая окружность содержит эти точки.

А мне неясно, что это вообще за точки. Что означают многоточия?...

[firex]

Цитата:

Всю массу каждой стороны перемещаете в середину. Таким образом вся масса сосредоточена в трех серединах сторон.

Не совсем понимаю эту процедуру ... То есть мы системы точек с массами заменяем одними точками с общей массой ... ? Разве от этого у нас центр масс не изменится ? Почему именно в середину ?

Цитата:

А мне неясно, что это вообще за точки. Что означают многоточия?...

Ну ... Это однородные координаты точек на проективной плоскости (комплексной).

[ewert]

firex в сообщении #298674 писал(а):

Не совсем понимаю эту процедуру ...

Если тело разбить на две части, то центр масс всего тела -- это то же самое, что центр масс двух точек, расположенных в центрах масс частей (с соответствующими массами).
(естественно, это же верно и для разбиения на любой количество частей)

firex в сообщении #298674 писал(а):

Это однородные координаты точек на проективной плоскости (комплексной).

А вот этого уже я не понимаю. И в любом случае не знаю, что такое "овал".

[firex]

Цитата:

А вот этого уже я не понимаю. И в любом случае не знаю, что такое "овал".

Это такая кривая второго порядка на такой плоскости, то есть уравнение вида $f(x_1,x_2,x_3)=0$, где $f$ многочлен второй степени, то есть точка $(x_1 : x_2 : x_3 )$ принадлежит этой кривой когда выполнено это равенство, и эта кривая - овал, если в некоторой системе координат оно имеет вид $x_1^2 +x_2^2-x_3^2=0$. В некоторой системе координат значит, что есть такая невырожденная матрица $C$, квадратная, 3x3, что $(x_1, x_2, x_3)^T = C (x_1', x_2', x_3')^T, штрихованные иксы это координаты точки в новой системе координаты .. то это уравнение задает кривую в исходной системе координат, однако при такой замене мы можем написать новое уравнение которое будут задавать ту же кривую в другой системе координат ... вот так я это понимаю ...

[maxmatem]

А разве точка пересечения медиан в треугольнике ,не центр тяжести данного треугольника? Найдите барицентрические координаты точки пересечения медиан вашего треугольника!

[ИСН]

Не центр.
Она центр тяжести вершин треугольника. Это другое.

[ewert]

firex в сообщении #298686 писал(а):

Цитата:

А вот этого уже я не понимаю. И в любом случае не знаю, что такое "овал".

Это такая кривая второго порядка на такой плоскости, то есть уравнение вида $f(x_1,x_2,x_3)=0$,

Я (занудно) не понимаю, что такое $x_1,x_2,x_3$ на плоскости.

[firex]

Цитата:

Всю массу каждой стороны перемещаете в середину. Таким образом вся масса сосредоточена в трех серединах сторон. Находите центр масс двух из трех точек. Он лежит на отрезке между ними и делит его на обратно пропорциональные массам части. А теперь покажите, что именно в таком отношении этот отрезок делит биссектриса.

Спасибо, я понял, биссектриса делит в отношении равном отношению двух сторон угла из которого она исходит, а они, являясь средними линиями исходного треугольника, равны половине соответствующих сторон ...

Цитата:

Если тело разбить на две части, то центр масс всего тела -- это то же самое, что центр масс двух точек, расположенных в центрах масс частей (с соответствующими массами).
(естественно, это же верно и для разбиения на любой количество частей)

Да, точно, совсем забыл (или не знал), видимо так даже проще решать в координатах, можно найти центр тяжести такого - "угла", а потом добавив середину прот. стороны легко найти координаты ц.м. Там как раз перед этой была задача про ц.м. такого уголка, которую я как раз решил ...

-- Чт мар 18, 2010 00:19:44 --

Ну хоть с первой задачей разобрался ...

Цитата:

Я (занудно) не понимаю, что такое $x_1,x_2,x_3$ на плоскости.

Хорошо ... сейчас скажу как я это понимаю ...
Ну во-первых, есть такое определение проективной плоскости, где проективная плоскость это просто связка прямых проходящих через точку, то есть точки проективной плоскости
это классы эквивалентностей троек $ (x_1,x_2,x_3) $ с таким отношением $(x_1,x_2,x_3) \sim (x_1', x_2', x_3') $ когда $(x_1,x_2,x_3) = (\lambda x_1', \lambda x_2', \lambda x_3') $, и конечно нулевая тройка выкинута.
Потом еще я знаю определение такое, берем все различные пучки прямых на плоскости, они бывают собственные и несобственные, тогда все собственные составляют всю обычную плоскость, а несобственные - проективную прямую, их можно как бы запараметризовать, взяв все прямые проходящие через начало координат, с помощью тангенса угла наклона - как раз проективная прямая там есть точки вещественной прямой, и одна бесконечно удаленная - ей соотвествует ось ординат.
Как я это понимаю неформально :
Вот есть тройка $x_1,x_2,x_3$
Если $x_3 = 0$ тогда точка лежит на несобственной прямой проективной плоскости, которой мы можем поставить в соотвествие координату на ней $\dfrac{x_1}{x_2}$ это если $x_2 \ne 0 $ если $x_2 = 0 $ тогда эта бесконечно удаленная точка несобственной прямой ...
Если же $x_3 \ne 0$ тогда эта обычная точка плоскости которой можно поставить в соотвествие координаты $ (\frac{x_1}{x_3}, \frac{x_2}{x_3}) $ ...
Ну вот так ... Но это конечно не все, если бы я отвечал на экзамене, рассказал бы много больше ...
p.s.
Я надеюсь Вы не просто так занудствуете ...