Разностные уравнения - устойчивость

[Lesobrod]

Хорошо известно, как исследовать на устойчивость линейное
разностное уравнение с пост. коэффициентами
$a_k y[i+k]+...+a_0 y[i]+c=0$
А что можно сказать об устойчивости решений нелинейных уравнений?
Там все так же круто, как и в дифурах?
На данный момент даже книги на эту тему не нашел.
Для "простоты" возьмём такой случай: постоянные коэффициенты
и нелинейности только степенные, пусть квадраты и кубы.
Еще проще:
$y[k+3]=a y[k+2] (1-y[k+2]) + b y[k+1] +c y[k], -4<a,b,c<4$
Догадываюсь, что аналитически найти области устойчивости по $a,b,c$ трудновато...Самый примитивный численный метод - создать достаточно плотную решетку в кубе $(-4,4)*(-4,4)*(-4,4)$ и для каждой
точки проследить, не "полетит" ли решение с такими $a,b,c$ в бесконечность.
НО! Сколько шагов брать и какое расстояние считать точкой невозврата?
Нет ли каких то методов анализа устойчивости
(подчеркиваю: порядок уравнения 3-4, коэф-ты постоянные, нелинейности - квадраты/кубы),
которые сочетают аналитику и перебор?

[mitia87]

Рассмотрите задачу для возмущения:
$\delta y_{k+3} = a(1 - (y_{k+2} + \tilde{y_{k+2}}))\delta y_{k+2} + b \delta y_{k+1} + c\delta y_{k}.$
Тогда
$|\delta y_{k+3}| \leq |a||1 - (y_{k+2} + \tilde{y_{k+2}})||\delta y_{k+2}| + |b| |\delta y_{k+1}| + |c||\delta y_{k}|.$
Если при этом априори получается ограниченность решения, то и вылазят ограничения на коэффициенты.

[Lesobrod]

О, точно метод возмущений!!
Спасибо, попробуем.
Всё-таки, по-моему, была теорема о том, что если решение
вышло за некий предел, то оно вообще неограниченно.
Может, кто вспомнит?

[zuj]

А можно ссылку на какую-нибудь хорошую литературу по "методу возмущений". А кстати как он правильно называется, чтобы если что я мог сам поискать?

[mitia87]

Метод возмущений - общий метод исследования устойчивости решений любых операторных уравнений. Такое название - из физики.
В математике - это просто определение устойчивости (по правой части, начальным, граничным данным):
вот есть задача
$Lu = f (1)$
и возмущенная
$L\tilde{u} = \tilde{f} (2)$
Задача называется устойчивой .... , если
$||\tilde{u}-u||_1 \leq M||\tilde{f}-f||_2, M= const (3)$
А по факту из (1) вычитают (2) и далее пытаются получать какие-то оценки типа (3).
Из своего опыта: для разностной нестационарной газодинамики получение оценок типа (3) весьма не просто.