задача из теории линейных множеств

[dzh0rdzh1]

Уважаемые участники форума! Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей:
представить отрезок $[0,1]$ в виде континуального объединения попарно не пересекающихся совершенных множеств.
Это, должно быть, известный факт, но я не знаю, как его доказывать. Нужно правильно использовать двоичные разложения чисел?
С квадратом проделать аналогичную операцию очень легко

[maxmatem]

а разве через канторово мн-во нельзя.... оно же совершенно!(мне кажется надо как-то от него отталкиваться)

[dzh0rdzh1]

я думал про канторово множество, только решения оно мне не дало. Верно, что
$[0,1]=\frac{1}{2}K+\frac{1}{2}K=\bigcup_{t\in K}(\frac{1}{2}t+\frac{1}{2}K)$ ($K$ - это канторово множество), но только объединяемые множества пересекаются(

[AGu]

Близкая тема: Континуум дизъюнктных канторовых множеств.