Второе начало термодинамики

[Padawan]

Есть две формулировки второго начала термодинамики
1) Невозможен тепловой процесс единственным результатом которого была бы передача тепла от холодного тела к более теплому.
2) величина $\dfrac{\delta Q}{T}$ является полным дифференциалом. Т.е. существует функция состояния $S$ - энтропия, что $dS=\dfrac{\delta Q}{T}$, т.е. для любого замкнутого равновесного процесса $\displaystyle\int \frac{\delta Q}{T}=0$

Объясните, пожалуйста, как одно следует из другого. Я как с курса физики ни пытался, так связи между ними и не смог усмотреть.

[Maslov]

Могу только по-простому :

Если рассмотреть замкнутую систему, состоящую из двух частей, то
$ dS = dS_1 + dS_2 = \dfrac {\delta Q_1} {T_1} + \dfrac {\delta Q_2} {T_2} $
$\delta Q_1 = - \delta Q_2$, поэтому
$dS = \delta Q_1 \left(\dfrac 1 {T_1} - \dfrac 1 {T_2}\right) = - \delta Q_1 \dfrac {T_1 - T_2} {T_1 T_2}$
Т.о., чтобы изменение энтропии было неотрицательным, $(T_1 - T_2)$ и $\delta Q_1$ должны быть разных знаков.

[Eiktyrnir]

Maslov в сообщении #297025 писал(а):

Могу только по-простому :

Если рассмотреть замкнутую систему, состоящую из двух частей, то
$ dS = dS_1 + dS_2 = \dfrac {\delta Q_1} {T_1} + \dfrac {\delta Q_2} {T_2} $
$\delta Q_1 = - \delta Q_2$, поэтому
$dS = \delta Q_1 \left(\dfrac 1 {T_1} - \dfrac 1 {T_2}\right) = - \delta Q_1 \dfrac {T_1 - T_2} {T_1 T_2}$
Т.о., чтобы изменение энтропии было неотрицательным, $(T_1 - T_2)$ и $\delta Q_1$ должны быть разных знаков.

Можно я усилю вопрос? А почему всегда $dS\geqslant 0$?

[Maslov]

Eiktyrnir в сообщении #297078 писал(а):

почему всегда $dS\geqslant 0$?

Так это, собственно, и есть вторая часть второго начала.
Первая часть утверждает, что существует функция состояния, дифференциал которой равен
$dS = \dfrac {\delta Q} T$ ($\delta Q$ - бесконечно малое количество тепла, переданное системе в обратимом процессе)
А вторая часть утверждает, что для любого процесса (обратимого или необратимого)
$dS \ge \dfrac {\delta Q} T$
Для замкнутой системы $\delta Q = 0$, поэтому
$dS \ge 0$

[Casaubon]

2) -> 1) достаточно легко.
Рассматирвается цикл Карно в перменных $S$ и $\theta$. Для него моментально доказывается известная формула для к.п.д. $\eta=1-\frac{\theta_2}{\theta_1}$, $\theta_1$ — температура горячего тела, $\theta_2$ — холодного. Этот результат означает, что чтобы передать в цикле Карно тепло от холодного тела к горчему, нужно совершить положительную работу. Для произвольного замкнутого цикла легко показать, что к.п.д ещё ниже (разрезая его на мелкие циклы Карно, т.е. на прямоугольнички в тех же перменных), что означает, что для передачи тепла нужно ещё большая работа. Если же, по условию, других результатов цикла нет, т.е. работа равна нулю, то и тепло передать нельзя.

1) -> 2). А вот тут не ясно, можно ли вообще это сделать без привлечения других принципов.
Обычно 1) формулируеюся в более жёсткой форме, именно как формула для к.п.д. цикла Карно $\eta=1-\frac{\theta_2}{\theta_1}$, (так и называется, формулировка Карно II начала).
Тогда из неё следует, что для цикла Карно $\frac{\Delta Q_1}{\theta_1}+\frac{\Delta Q_2}{\theta_2}=0$. Затем произвольный замкнутый цикл разрезается на прямоугольнички в переменных $S$ и $\theta$, и берётся измельчение этого разбиения

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{\Delta Q^n_1}{\theta^n_1}+\frac{\Delta Q^n_2}{\theta^n_2}=\oint \frac {\delta Q}\theta=0. $$

А так как цикл произвольный, то раз замкнутый интеграл равен нулю, то под интегралом стоит полный дифференциал.

Eiktyrnir в сообщении #297078 писал(а):

А вторая часть утверждает, что для любого процесса (обратимого или необратимого)
$dS \ge \dfrac {\delta Q} T$

Чему у вас равно $T$ для вашей системы из двух частей?

[Eiktyrnir]

Casaubon писал(а):

Eiktyrnir в сообщении #297078 писал(а):

А вторая часть утверждает, что для любого процесса (обратимого или необратимого)
$dS \ge \dfrac {\delta Q} T$

Чему у вас равно $T$ для вашей системы из двух частей?

Вы попутали что-то. Это не мои слова. Пусть отвечает тот кто это утверждает.

[Eiktyrnir]

Maslov писал(а):

Так это, собственно, и есть вторая часть второго начала.
Первая часть утверждает, что существует функция состояния, дифференциал которой равен
$dS = \dfrac {\delta Q} T$ ($\delta Q$ - бесконечно малое количество тепла, переданное системе в обратимом процессе)
А вторая часть утверждает, что для любого процесса (обратимого или необратимого)
$dS \ge \dfrac {\delta Q} T$
Для замкнутой системы $\delta Q = 0$, поэтому
$dS \ge 0$

А как же быть с процессом зарождения жизни, который идет при $dS<0$?

[GAA]

Padawan, обычно, следуя Клаузиусу [1], в курсах общей физики существование энтропии (утверждение 2) выводится из второго начала в формулировке Клаузиуса (утверждение 1) при помощи циклических тепловых машин, см., например, [2, 3]. Изложение в указанных курсах, конечно, не является формально строгим, но физиков устраивает. Сам вывод элементарен, но несколько кропотлив. Думаю, проще прочесть в книге, чем читать со страниц форума.

Ref. (ссылки на электронные версии возможно не лучшие, я пользуюсь бумажными)
1. Клаузиус Р. Механическая теория тепла. / в сб. «Второе начало термодинамики» под ред. Тимирязева. — М., 1934.
2. Ферми Э. Термодинамика. — Харьков: ХГУ, 1969 (djvu).
3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том 2. Термодинамика и молекулярная физика. — М.: Наука, 1975 (djvu, 14.5 Mб).

[Maslov]

Еще вот такая хорошая книжка есть:
А.Зоммерфельд. Термодинамика и статистическая физика. М.: ИЛ, 1955

-- Вс мар 14, 2010 21:24:54 --

Casaubon в сообщении #297135 писал(а):

Чему у вас равно $T$ для вашей системы из двух частей?

Согласен, неаккуратненько получилось. Лучше как-то так:
$dS \geq \sum \limits_i \dfrac {\delta Q_i}{T_i}$
где суммирование ведётся по температурно-однородным макроскопическим подсистемам

[Maslov]

Eiktyrnir в сообщении #297720 писал(а):

А как же быть с процессом зарождения жизни, который идет при $dS<0$?

А с чего Вы взяли, что при зарождении жизни энтропия уменьшается?

[Casaubon]

Maslov в сообщении #297751 писал(а):

Лучше как-то так:
$dS \geq \sum \limits_i \dfrac {\delta Q_i}{T_i}$
где суммирование ведётся по температурно-однородным макроскопическим подсистемам

Тогда не ясно, как Вы в эту формулу будете подставлять $\delta Q=0$. Кроме того, она сама не является формулировкой II начала, её ещё нужно доказывать.

Это я всё к тому, что такого рода вещи так просто, в одну строчку, не доказываются. А термодинамика хороша (или плоха?) тем, что каждую формулу нужно очень аккуратно использовать, учитывае все явные и неявные условия и область применимости. Из-за этого многое учебники и энциклопедии по ТД содерждат ляпы, не всегда заметные.

см., например, Базаров И. П. «Заблуждения и ошибки в термодинамике»

-- Пн мар 15, 2010 14:54:44 --

Eiktyrnir в сообщении #297720 писал(а):

А как же быть с процессом зарождения жизни, который идет при $dS<0$?

Для какой именно ТД системы Вы пишете это неравенство? Является ли она макроскопической? Для какого процесса? Является ли он квазистатическим? Является ли система замкнутной? В каких ТД переменных Вы работаете?
Пока на эти вопросы не будет ответа, такая «энтропия» не будет иметь ничего общема с энтропией, принятой в ТД. И это не придирки — из-за такого бытового понимания энтропии возникает куча мнимых парадоксов, вспомните хотя бы от тепловой смерти вселенной.

[Maslov]

Casaubon в сообщении #297953 писал(а):

многое учебники и энциклопедии по ТД содерждат ляпы, не всегда заметные.
см., например, Базаров И. П. «Заблуждения и ошибки в термодинамике»

Спасибо, хорошая книга.
Согласен с Вашими возражениями.
На самом деле, я это "доказательство" не сам придумал. Хотя, конечно, это меня не извиняет

[Eiktyrnir]

Casaubon писал(а):

Eiktyrnir в сообщении #297720 писал(а):

А как же быть с процессом зарождения жизни, который идет при $dS<0$?

Для какой именно ТД системы Вы пишете это неравенство? Является ли она макроскопической? Для какого процесса? Является ли он квазистатическим? Является ли система замкнутной? В каких ТД переменных Вы работаете?
Пока на эти вопросы не будет ответа, такая «энтропия» не будет иметь ничего общема с энтропией, принятой в ТД. И это не придирки — из-за такого бытового понимания энтропии возникает куча мнимых парадоксов, вспомните хотя бы от тепловой смерти вселенной.

Что значит "такая" энтропия? Что бывает разная энтропия? Вы это, простите о чем? И чем "моя" энтропия отличается от термодинамической (по определению энтропия - есть мера изменения хаоса).
Хорошо допустим это не придирки. Вот смотрите энтропия это мера хаоса или безпорядка, т.е. определенная стандартно
$S=k \ln W$, где $W$ - статистический вес, $k$ - постоянная Больцмана. Обратная ей величина (определенная стандартно)
$D=-S=k \ln W^{-1}$ - есть мера порядка
Так вот я имел ввиду, что процесс зарождения жизни, а именно - процесс деления оплодотворенной яйцеклетки является в этом самом смысле процессом который идет при условии того, что энтропия системы - оплодотворенная яйцеклетка, которая делится - уменьшается - т.е. каждое последующее значение энтропии меньше, чем ее предыдущее значении, или, что тоже самое - в данном случае $dS<0$. Так ясней вопрос?

[Padawan]

Eiktyrnir в сообщении #298102 писал(а):

по определению энтропия - есть мера изменения хаоса.

По определению энтропия, этот такая функция состояния, что $dS=\dfrac{\delta Q}{T}$...
А мерой хаоса и мерой порядка только мозги пудрят неискушенным в физике людям (типа меня)

[Eiktyrnir]

Padawan в сообщении #298202 писал(а):

Eiktyrnir в сообщении #298102 писал(а):

по определению энтропия - есть мера изменения хаоса.

По определению энтропия, этот такая функция состояния, что $dS=\dfrac{\delta Q}{T}$...
А мерой хаоса и мерой порядка только мозги пудрят неискушенным в физике людям (типа меня)

Что совсем мозги запудрил вам Больцман? Или я? Ну ясное дело - что устраивает (определение через приращение количества тепла к единице температуры), о том и будем говорить, а что неустраивает - то для "неискушенных". Вопросов больше нет к вам.

-- Вт мар 16, 2010 10:54:18 --

Maslov в сообщении #297929 писал(а):

Eiktyrnir в сообщении #297720 писал(а):

А как же быть с процессом зарождения жизни, который идет при $dS<0$?

А с чего Вы взяли, что при зарождении жизни энтропия уменьшается?

А вы как сами думаете почему? Определение энтропии Больцмановское я привел - что тут неясного? Мера хаоса или безпорядка - это есть энтропия. В процессе зарождения жизни - хаос уменьшается, ввиду того, что идет обратный процесс.