Помогите взять интеграл (arccos)

[Leoluch]

Народ, помогите взять интеграл
$\int\arccos(x){dx}$
Вроде простой, но ничего с ним сделать не могу. Может кто-то подскажет, как можно обратные тригонометрические функции связать с прямыми? Сколько не искал по справочникам и книгам не нашел. Максимум что видел
$\arccos(x)=\arctg{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}$
Правда чем это тут поможет не знаю.
Ещё на всяк случай
$0\leqslant \arccos \leqslant\pi$
Я прекрасно знаю, что никто его за меня не решит но хоть подскажите с чего начать, как его. по частям бить, или замена, или ещё что.

Отделено от чужой темы. /АКМ

[gris]

по частям

[AKM]

Leoluch в сообщении #297227 писал(а):

Может кто-то подскажет, как можно обратные тригонометрические функции связать с прямыми?

Ну я бы попробовал тупо --- назвать $t=\arccos x$, из этого выразить $x=?$, определить $dx=???$, всё это в интеграл подставить, и далее возиться, возиться...

Не знаю, что имел в виду gris (он редко бывает так скупо-лаконичен), но, возможно, егойное "по частям" предполагает вначале именно описанные мной действия.

А чужие темки, пусть и похожие, хапать не надо. Делайте свою --- и по частям!

[gris]

Есть такая песенка - "по частям, по частям, по частям-тям-тям".

В своё оправдание напишу $du=dx;\,v=\arccos x$

[Профессор Снэйп]

gris в сообщении #297229 писал(а):

по частям

Ага

$$ \int \arccos x \, dx = x\arccos x - \int x \; (\arccos x)' \, dx = \ldots $$

[ewert]

AKM в сообщении #297292 писал(а):

Не знаю, что имел в виду gris (он редко бывает так скупо-лаконичен),

Он имел в виду, что в любом варианте -- по частям. Можно -- после замены, можно -- до замены, но по частям -- в любом случае.

[gris]

ну что сразу по частяь. можно ибез частей

$$\int\arccos z \,dz = \int\frac {\pi} {2} - \arcsin z \,dz=$$

$$=\int \frac {\pi} {2} - (z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots )\,dz=$$

$$ =\int \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)}\,dz=$$

$$ =\frac {\pi z} {2}-\sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+2}} {(2n+1)(2n+2)}=z\cdot\left(\frac {\pi } {2} - \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)} \right)-\sqrt{1-z^2}$$

ответ

[AKM]

$\ldots+C$? Спасибо.