2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Помогите взять интеграл (arccos)
Сообщение13.03.2010, 17:03 
Народ, помогите взять интеграл
$\int\arccos(x){dx}$
Вроде простой, но ничего с ним сделать не могу. Может кто-то подскажет, как можно обратные тригонометрические функции связать с прямыми? Сколько не искал по справочникам и книгам не нашел. Максимум что видел
$\arccos(x)=\arctg{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}$
Правда чем это тут поможет не знаю.
Ещё на всяк случай
$0\leqslant \arccos \leqslant\pi$
Я прекрасно знаю, что никто его за меня не решит но хоть подскажите с чего начать, как его. по частям бить, или замена, или ещё что.

Отделено от чужой темы. /АКМ

 
 
 
 Re: Помогите ВЗЯТЬ интеграл
Сообщение13.03.2010, 17:22 
Аватара пользователя
по частям

 
 
 
 Re: Помогите ВЗЯТЬ интеграл
Сообщение13.03.2010, 20:57 
Аватара пользователя
Leoluch в сообщении #297227 писал(а):
Может кто-то подскажет, как можно обратные тригонометрические функции связать с прямыми?
Ну я бы попробовал тупо --- назвать $t=\arccos x$, из этого выразить $x=?$, определить $dx=???$, всё это в интеграл подставить, и далее возиться, возиться...

Не знаю, что имел в виду gris (он редко бывает так скупо-лаконичен), но, возможно, егойное "по частям" предполагает вначале именно описанные мной действия.

А чужие темки, пусть и похожие, хапать не надо. Делайте свою --- и по частям!

 
 
 
 Re: Помогите ВЗЯТЬ интеграл
Сообщение13.03.2010, 21:01 
Аватара пользователя
Есть такая песенка - "по частям, по частям, по частям-тям-тям".

В своё оправдание напишу $du=dx;\,v=\arccos x$

 
 
 
 Re: Помогите ВЗЯТЬ интеграл
Сообщение13.03.2010, 21:34 
Аватара пользователя
gris в сообщении #297229 писал(а):
по частям

Ага :)

$$
\int \arccos x \, dx = x\arccos x - \int x \; (\arccos x)' \, dx = \ldots
$$

 
 
 
 Re: Помогите ВЗЯТЬ интеграл
Сообщение13.03.2010, 21:47 
AKM в сообщении #297292 писал(а):
Не знаю, что имел в виду gris (он редко бывает так скупо-лаконичен),

Он имел в виду, что в любом варианте -- по частям. Можно -- после замены, можно -- до замены, но по частям -- в любом случае.

 
 
 
 Re: Помогите ВЗЯТЬ интеграл
Сообщение13.03.2010, 22:14 
Аватара пользователя
ну что сразу по частяь. можно ибез частей


$$\int\arccos z \,dz = \int\frac {\pi} {2} - \arcsin z \,dz=$$

$$=\int \frac {\pi} {2} - (z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots )\,dz=$$

$$ =\int \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)}\,dz=$$

$$ =\frac {\pi z} {2}-\sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+2}} {(2n+1)(2n+2)}=z\cdot\left(\frac {\pi } {2} -  \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)} \right)-\sqrt{1-z^2}$$ ответ

 
 
 
 Re: Помогите ВЗЯТЬ интеграл
Сообщение14.03.2010, 03:29 
Аватара пользователя
$\ldots+C$? Спасибо.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group