Решить систему дифференциальных уравнений

[t3rmin41]

Не могу решить такую систему дифференциальных уравнений

$\frac{dx}{dt}=\frac{1}{y}; \frac{dy}{dt}=\frac{1}{x}$

тут ведь не получится продифференциировать второй раз и подставить, так?

[ShMaxG]

Поделите второе на первое, найдете зависимость $y(x)$. А дальше подставляйте уже в данные уравнения.
Можно первое продифференцировать по $t$ еще раз, получите $\[x'' = x{'^2} \cdot y' = x{'^2}\frac{1} {x}\] $, но с этим возиться уже не приятно...

[gris]

я бы поделил почленно и нашёл $y(x)$
Но боюсь, что кое-кому не понравится.
Ура! Я угадал

[t3rmin41]

Если поделить второе на первое, получается

$\frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}=\frac{y}{x}; ln y = ln x; y=x$

так? Но тогда не получается ответ, как в книге. А в книге ответ
$C_1 x^2=2t+C_2; y^2=C_1(2t+C_2)$

[ShMaxG]

t3rmin41 в сообщении #297231 писал(а):

$\frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}=\frac{y}{x}$

А ведь $y=2x$ тоже подходит под диффур, не так ли? Потеряли значит что-то...

[t3rmin41]

ShMaxG в сообщении #297232 писал(а):

t3rmin41 в сообщении #297231 писал(а):

$\frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}=\frac{y}{x}$

А ведь $y=2x$ тоже подходит под диффур, не так ли? Потеряли значит что-то...

Ну хорошо, если записать
$y=C_1 \cdot x$ то потом $\frac{dy}{dt}=\frac{1}{x}; \frac{d(C_1 \cdot x)}{dt}=\frac{1}{x}; C_1 \cdot \frac{dx}{dt}=\frac{1}{x}; C_1 \cdot x dx =dt; C_1 \frac{x^2}{2}=t+\frac{C_2}{2}; C_1 \cdot x^2=2t+C_2$

так? Вроде так.

-- Сб мар 13, 2010 19:36:31 --

Хорошо, а как такой решить $\frac{dx}{dt}=y+1; \frac{dy}{dt}=x+1$

У меня не отделяются переменные если почленно поделить.

[ShMaxG]

А здесь продифференцируйте еще раз по $t$ любое из этих уравнений. Сведете к простому диффуру второго порядка.

[ewert]

t3rmin41 в сообщении #297220 писал(а):

тут ведь не получится продифференциировать второй раз и подставить, так?

Почему не получится? Только лучше наоборот: выразить и тупо подставить -- заведомо получится уравнение 2-го порядка, не содержащее независимой переменной, которое решается стандартной подстановкой:

$$x={1\over y'};\quad \left({1\over y'}\right)'={1\over y};\quad -{y''\over {y'}^2}={1\over y};\quad y'(t)=p(y),\ y''(t)=p'p;\quad -{p'\over p}={1\over y};\quad p(y)={C_1\over y}={dy\over dt};\quad {y^2\over2}=C_1t+C_2.$$

Хотя разделить действительно проще.

t3rmin41 в сообщении #297237 писал(а):

Хорошо, а как такой решить $\frac{dx}{dt}=y+1; \frac{dy}{dt}=x+1$

У меня не отделяются переменные если почленно поделить.

Что значит "не отделяются"? В лоб: $(x+1)dx=(y+1)dy,\quad (x+1)^2=(y+1)^2+C_1$.

Хотя здесь действительно проще, наоборот, продифференцировать. Только опять же: не гадать, чего бы и как бы скомбинировать, а тупо подставить $x=y'-1$ из второго уравнения в первое. Получится простенькон линейное уравнение.