2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Гусеница на резине (помогите найти ошибки в решении)
Сообщение12.03.2010, 05:42 
Аватара пользователя


17/09/09
32
Южно-Сахалинск
"Гусеница ползет со скоростью 1 см/мин по куску резины, стремясь достичь противоположного конца. Кусок резины имеет длину 7 см и может растягиваться до любой длины. Каждую минуту резину растягивают на 7 см. Гусеница прочно держится на поверхности и продолжает двигаться, когда резина растягивается. Доберется ли гусеница до противоположного конца? Если да, то когда?"
-
На самом деле эту задачу нужно решить построением алгоритма и написанием соответствующей программы в делфи, которая решает ее. Это не очень сложно (программа находит ответ 616 минут). Но мне захотелось решить ее без помощи компьютера, математически. То есть получить формулу, выражающую ответ через данные величины. При этом я считала, что резина растягивается не дискретно, а непрерывно, так же двигается и гусеница (она предполагается имеющей точечные размеры).
Пусть $L_0$ - начальная длина резины, $v$ - скорость движения гусеницы, $u$ - скорость растяжения резины.
Будем считать, что резина не растягивается, а скорость гусеницы уменьшается (то есть будем как бы "менять масштаб" по мере растяжения резины таким образом, чтобы ее длина в наших глазах оставалась постоянной). Найдем тогда переменную скорость гусеницы x из формулы
$\frac{L_0+ut}{v}=\frac{L_0}{x}$.
Обе части формулы выражают время, за которое гусеница прошла бы всю резину, если бы и ее скорость, и длина резины оставались постоянными. Только справа за длину резины взята возросшая за время $t$, которое прошло с начала движения, на $ut$ длина $L_0$, а за скорость - постоянная скорость гусеницы, а слева - за длину резины постоянная изначальная ее длина, а за скорость - переменная скорость, которую гусеница имеет к моменту времени $t$.
Далее, из этой формулы имеем
$x = \frac{L_0v}{L_0+ut}$;
приравниваем путь к сумме мгновенных скоростей, умноженных на крошечные промежутки времени:
$L_0 = \int\limits_0^T {L_0x}dt = \int\limits_0^T \frac{L_0v}{L_0+ut}dt $, где T - время прохождения гусеницей всей резинки
после преобразований
$T = \frac{1}{u} {e} ^{\frac{L_0}{v}}$.
Численно T = 156,66 минут.
Во-первых, слишком велико различие между полученным программно и этим результатам. Хотя и неодинаково движение резины (там - дискретное, здесь - непрерывное), вряд ли расхождение в 6 раз нормально.
Во-вторых, сам вид полученной формулы не вызывает доверия. Получается, чем больше скорость растяжения резины $u$, тем меньше $T$, то есть тем быстрее гусеница доберется до конца. А при скорости растяжения, равной нулю, время доползания устремляется к бесконечности :)
На основании этого видно, что где-то есть ошибка! Пожалуйста, помогите найти правильное решение! :idea:

 Профиль  
                  
 
 Re: Гусеница на резине (помогите найти ошибки в решении)
Сообщение12.03.2010, 07:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5439
Нов-ск
Black_Queen152 в сообщении #296852 писал(а):
$L_0 = \int\limits_0^T {L_0x}dt = \int\limits_0^T \frac{L_0v}{L_0+ut}dt $, где T - время прохождения гусеницей всей резинки
после преобразований
$T = \frac{1}{u} {e} ^{\frac{L_0}{v}}$.

Приведите преобразования.

И расскажите, как решали численно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гусеница на резине (помогите найти ошибки в решении)
Сообщение12.03.2010, 10:29 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Black_Queen152 в сообщении #296852 писал(а):
$L_0 = \int\limits_0^T {L_0x}dt = \int\limits_0^T \frac{L_0v}{L_0+ut}dt $, где T - время прохождения гусеницей всей резинки

Это, как ни странно, верно (странно, т.к. в предыдущем понять что-то трудно: ну кто ж обозначает скорость буквой $x$?...).

А вот это уже -- полное безобразие:

Black_Queen152 в сообщении #296852 писал(а):
после преобразований
$T = \frac{1}{u} {e} ^{\frac{L_0}{v}}$.

И по размерности не сходится, и не буквально там экспонента в ответе. Тем не менее, окончательный ответ

Black_Queen152 в сообщении #296852 писал(а):
Численно T = 156,66 минут.

-- по порядку величины верен.


Black_Queen152 в сообщении #296852 писал(а):
Во-первых, слишком велико различие между полученным программно и этим результатам. Хотя и неодинаково движение резины (там - дискретное, здесь - непрерывное), вряд ли расхождение в 6 раз нормально.

Трудно сказать. "Дискретное время" фактически означает, что дифференциальное уравнение решалось неким конечно-разностным методом типа метода Эйлера. Если за независимую переменную при этом бралась координата и шаг дискретизации был грубым, то расхождение в несколько раз, в принципе, возможно, т.к. время зависит от координаты экспоненциально. А может, просто алгоритм расчёта был неверен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гусеница на резине (помогите найти ошибки в решении)
Сообщение12.03.2010, 13:28 
Аватара пользователя


17/09/09
32
Южно-Сахалинск
Вот преобразования:

$L_0 = \int\limits_0^T {L_0x}dt = \int\limits_0^T \frac{L_0v}{L_0+ut}dt $
$L_0 = L_0v\int\limits_0^T \frac{1}{L_0+ut}dt $
$1 = v \int\limits_0^T \frac{1}{L_0+ut}dt $
Согласно формуле
$\int\frac{1}{ax + b}= \frac{1}{a}ln|ax+b| + C$,
получаем
$1 = \frac{v}{L_0}(ln|L_0+uT|-ln|L_0| + C)$
$\frac{L_0}{v}=ln|\frac{C(L_0+uT)}{L_0}|$
далее я как-то умудрилась сократить выражение в правой части на $L_0$... :shock:
от этой ошибки и получен ответ
$T = \frac{1}{u} {e} ^{\frac{L_0}{v}}$.
Ну вот, исправим ошибку, пишем
$e^{\frac{L_0}{v}}=\frac{C(L_0+uT)}{L_0}$
$Ce^{\frac{L_0}{v}}/L_0 = L_0 + uT$
$\frac{Ce^{\frac{L_0}{v}} - L_0^2}{L_0u} = T$
Снова T обратно пропорционально u! Снова какой-то непорядок... :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Гусеница на резине (помогите найти ошибки в решении)
Сообщение12.03.2010, 13:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13437
с Территории
(решение не читал)
C искать кто должен, Пушкин?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гусеница на резине (помогите найти ошибки в решении)
Сообщение12.03.2010, 13:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5439
Нов-ск
Black_Queen152 в сообщении #296922 писал(а):
$1 = v \int\limits_0^T \frac{1}{L_0+ut}dt $
Вычисляйте интеграл.
(616 минут -- грубая ошибка.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Гусеница на резине (помогите найти ошибки в решении)
Сообщение12.03.2010, 13:36 
Аватара пользователя


17/09/09
32
Южно-Сахалинск
Вы только не ругайтесь сильно, хорошо? Но... я не знаю, как искать С :cry:
В прошлый раз я просто вообще про него забыла...

 Профиль  
                  
 
 Re: Гусеница на резине (помогите найти ошибки в решении)
Сообщение12.03.2010, 22:52 


07/03/10
59
Почему получается большая ошибка, относительно понятно.

И исходной задачи специально подобраны числа: в начальный момент скорость равна $v_0=1$, через минуту — $v_1=\frac12$, и т.д. $v_i=\frac1i$.
Таким образом, задача сводится к оценке частичной суммы гармонического ряда, или нахождению такого $j$, что
$$\sum_{i=1}^{j-1}\frac1i \leqslant 7 <\sum_{i=1}^{j}\frac1i.$$
Решение — действительно $j=616$.
Вопрос, как оценить сумму. Можно приближённо вычислить сумму как интеграл от соотвествующий функции
$$\sum_{i=1}^j\frac{1}{i} \approx\int_1^j\frac{1}{x}\,dx=\ln j.$$
Тогда, из уравнения $\ln j=7$ получаем $j=e^7\approx 1097$ — это почти то (плюс минус единица), что должно получится у вас, когда вы, наконец, верно возьмёте интеграл. Такая большая ошибка объясняется медленной сходимостью ряда.
Однако, более точная оценка ряда — это
$$
\sum_{i=1}^j\frac1i \approx\ln j+\gamma,
$$
где $\gamma\approx 0{,}57722$ — константа Эйлера. Тогда из уравнения $\ln  j+\gamma=7$ и получим $j\approx 615{,}7$, как раз то, что нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гусеница на резине (помогите найти ошибки в решении)
Сообщение13.03.2010, 04:05 
Аватара пользователя


17/09/09
32
Южно-Сахалинск
Спасибо... пойду вспоминать, как находить С и брать интеграл! :o

 Профиль  
                  
 
 Re: Гусеница на резине (помогите найти ошибки в решении)
Сообщение13.03.2010, 09:14 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Black_Queen152 в сообщении #297138 писал(а):
пойду вспоминать, как находить С

Ой не надо бы. Лучше вспомните, как её грамотно терять при переходе от неопределённого интеграла к определённому:

Black_Queen152 в сообщении #296922 писал(а):
$1 = v \int\limits_0^T \frac{1}{L_0+ut}dt $
Согласно формуле
$\int\frac{1}{ax + b}= \frac{1}{a}ln|ax+b| + C$,
получаем
$1 = \frac{v}{L_0}(ln|L_0+uT|-ln|L_0| + C)$

Ну и плюс к тому Вы зачем-то $a$ и $b$ перепутали.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group