Гусеница на резине (помогите найти ошибки в решении)

[Black_Queen152]

"Гусеница ползет со скоростью 1 см/мин по куску резины, стремясь достичь противоположного конца. Кусок резины имеет длину 7 см и может растягиваться до любой длины. Каждую минуту резину растягивают на 7 см. Гусеница прочно держится на поверхности и продолжает двигаться, когда резина растягивается. Доберется ли гусеница до противоположного конца? Если да, то когда?"
-
На самом деле эту задачу нужно решить построением алгоритма и написанием соответствующей программы в делфи, которая решает ее. Это не очень сложно (программа находит ответ 616 минут). Но мне захотелось решить ее без помощи компьютера, математически. То есть получить формулу, выражающую ответ через данные величины. При этом я считала, что резина растягивается не дискретно, а непрерывно, так же двигается и гусеница (она предполагается имеющей точечные размеры).
Пусть $L_0$ - начальная длина резины, $v$ - скорость движения гусеницы, $u$ - скорость растяжения резины.
Будем считать, что резина не растягивается, а скорость гусеницы уменьшается (то есть будем как бы "менять масштаб" по мере растяжения резины таким образом, чтобы ее длина в наших глазах оставалась постоянной). Найдем тогда переменную скорость гусеницы x из формулы
$\frac{L_0+ut}{v}=\frac{L_0}{x}$.
Обе части формулы выражают время, за которое гусеница прошла бы всю резину, если бы и ее скорость, и длина резины оставались постоянными. Только справа за длину резины взята возросшая за время $t$, которое прошло с начала движения, на $ut$ длина $L_0$, а за скорость - постоянная скорость гусеницы, а слева - за длину резины постоянная изначальная ее длина, а за скорость - переменная скорость, которую гусеница имеет к моменту времени $t$.
Далее, из этой формулы имеем
$x = \frac{L_0v}{L_0+ut}$;
приравниваем путь к сумме мгновенных скоростей, умноженных на крошечные промежутки времени:
$L_0 = \int\limits_0^T {L_0x}dt = \int\limits_0^T \frac{L_0v}{L_0+ut}dt $, где T - время прохождения гусеницей всей резинки
после преобразований
$T = \frac{1}{u} {e} ^{\frac{L_0}{v}}$.
Численно T = 156,66 минут.
Во-первых, слишком велико различие между полученным программно и этим результатам. Хотя и неодинаково движение резины (там - дискретное, здесь - непрерывное), вряд ли расхождение в 6 раз нормально.
Во-вторых, сам вид полученной формулы не вызывает доверия. Получается, чем больше скорость растяжения резины $u$, тем меньше $T$, то есть тем быстрее гусеница доберется до конца. А при скорости растяжения, равной нулю, время доползания устремляется к бесконечности
На основании этого видно, что где-то есть ошибка! Пожалуйста, помогите найти правильное решение!

[TOTAL]

Black_Queen152 в сообщении #296852 писал(а):

$L_0 = \int\limits_0^T {L_0x}dt = \int\limits_0^T \frac{L_0v}{L_0+ut}dt $, где T - время прохождения гусеницей всей резинки
после преобразований
$T = \frac{1}{u} {e} ^{\frac{L_0}{v}}$.

Приведите преобразования.

И расскажите, как решали численно.

[ewert]

Black_Queen152 в сообщении #296852 писал(а):

$L_0 = \int\limits_0^T {L_0x}dt = \int\limits_0^T \frac{L_0v}{L_0+ut}dt $, где T - время прохождения гусеницей всей резинки

Это, как ни странно, верно (странно, т.к. в предыдущем понять что-то трудно: ну кто ж обозначает скорость буквой $x$?...).

А вот это уже -- полное безобразие:

Black_Queen152 в сообщении #296852 писал(а):

после преобразований
$T = \frac{1}{u} {e} ^{\frac{L_0}{v}}$.

И по размерности не сходится, и не буквально там экспонента в ответе. Тем не менее, окончательный ответ

Black_Queen152 в сообщении #296852 писал(а):

Численно T = 156,66 минут.

-- по порядку величины верен.

Black_Queen152 в сообщении #296852 писал(а):

Во-первых, слишком велико различие между полученным программно и этим результатам. Хотя и неодинаково движение резины (там - дискретное, здесь - непрерывное), вряд ли расхождение в 6 раз нормально.

Трудно сказать. "Дискретное время" фактически означает, что дифференциальное уравнение решалось неким конечно-разностным методом типа метода Эйлера. Если за независимую переменную при этом бралась координата и шаг дискретизации был грубым, то расхождение в несколько раз, в принципе, возможно, т.к. время зависит от координаты экспоненциально. А может, просто алгоритм расчёта был неверен.

[Black_Queen152]

Вот преобразования:

$L_0 = \int\limits_0^T {L_0x}dt = \int\limits_0^T \frac{L_0v}{L_0+ut}dt $
$L_0 = L_0v\int\limits_0^T \frac{1}{L_0+ut}dt $
$1 = v \int\limits_0^T \frac{1}{L_0+ut}dt $
Согласно формуле
$\int\frac{1}{ax + b}= \frac{1}{a}ln|ax+b| + C$,
получаем
$1 = \frac{v}{L_0}(ln|L_0+uT|-ln|L_0| + C)$
$\frac{L_0}{v}=ln|\frac{C(L_0+uT)}{L_0}|$
далее я как-то умудрилась сократить выражение в правой части на $L_0$...
от этой ошибки и получен ответ
$T = \frac{1}{u} {e} ^{\frac{L_0}{v}}$.
Ну вот, исправим ошибку, пишем
$e^{\frac{L_0}{v}}=\frac{C(L_0+uT)}{L_0}$
$Ce^{\frac{L_0}{v}}/L_0 = L_0 + uT$
$\frac{Ce^{\frac{L_0}{v}} - L_0^2}{L_0u} = T$
Снова T обратно пропорционально u! Снова какой-то непорядок...

[ИСН]

(решение не читал)
C искать кто должен, Пушкин?

[TOTAL]

Black_Queen152 в сообщении #296922 писал(а):

$1 = v \int\limits_0^T \frac{1}{L_0+ut}dt $

Вычисляйте интеграл.
(616 минут -- грубая ошибка.)

[Black_Queen152]

Вы только не ругайтесь сильно, хорошо? Но... я не знаю, как искать С
В прошлый раз я просто вообще про него забыла...

[Casaubon]

Почему получается большая ошибка, относительно понятно.

И исходной задачи специально подобраны числа: в начальный момент скорость равна $v_0=1$, через минуту — $v_1=\frac12$, и т.д. $v_i=\frac1i$.
Таким образом, задача сводится к оценке частичной суммы гармонического ряда, или нахождению такого $j$, что

$$\sum_{i=1}^{j-1}\frac1i \leqslant 7 <\sum_{i=1}^{j}\frac1i.$$

Решение — действительно $j=616$.
Вопрос, как оценить сумму. Можно приближённо вычислить сумму как интеграл от соотвествующий функции

$$\sum_{i=1}^j\frac{1}{i} \approx\int_1^j\frac{1}{x}\,dx=\ln j.$$

Тогда, из уравнения $\ln j=7$ получаем $j=e^7\approx 1097$ — это почти то (плюс минус единица), что должно получится у вас, когда вы, наконец, верно возьмёте интеграл. Такая большая ошибка объясняется медленной сходимостью ряда.
Однако, более точная оценка ряда — это

$$ \sum_{i=1}^j\frac1i \approx\ln j+\gamma, $$

где $\gamma\approx 0{,}57722$ — константа Эйлера. Тогда из уравнения $\ln j+\gamma=7$ и получим $j\approx 615{,}7$, как раз то, что нужно.

[Black_Queen152]

Спасибо... пойду вспоминать, как находить С и брать интеграл!

[ewert]

Black_Queen152 в сообщении #297138 писал(а):

пойду вспоминать, как находить С

Ой не надо бы. Лучше вспомните, как её грамотно терять при переходе от неопределённого интеграла к определённому:

Black_Queen152 в сообщении #296922 писал(а):

$1 = v \int\limits_0^T \frac{1}{L_0+ut}dt $
Согласно формуле
$\int\frac{1}{ax + b}= \frac{1}{a}ln|ax+b| + C$,
получаем
$1 = \frac{v}{L_0}(ln|L_0+uT|-ln|L_0| + C)$

Ну и плюс к тому Вы зачем-то $a$ и $b$ перепутали.