Теория детерминизма Лапласа

[EvgenyGR]

myhand в сообщении #296954 писал(а):

Неа. У меня на стр.25 (4 изд.) - сноска. "Такую воображаемую совокупность одинаковых систем обычно называют статистическим ансамблем". Вполне по-Гиббсу, т.е. без всяких усреднений по траекториям...

Не хочется вязнуть в споре о терминах, в конце концов дело не в них, разговор, если помните зашел о подходах Гиббса и Больцмана, о том что у Больцмана случайность присутствует а у Гиббса нет.

Может, поступим проще. Я изложу свое виденье, а Вы скажете, где я не прав (или во всяком случае не верно использую названия).

И так мне всегда казалось, что подход Больцмана сводиться к следующему.

Мы определяем некое множество (фазовый объем) как область допустимых значений, затем на этом множестве вводим вероятностную меру, которая совпадает с фазовым объемом произвольной области (множества). При этом мера всего допустимого множества равна единицы. Затем мы определяем некое множество (область) отвечающее интересующему наc состоянию (например, состоянию равновесия) и оказывается, что мера этой области стремиться к единицы, при числе частиц стремящимся к бесконечности. Физический смысл подхода Больцмана в том что если взять на выбор какую-то точку из множества допустимых состояний то эта точка с подавляющей вероятностью окажется точкой из множества точек отвечающих равновесному состоянию.
В подходе Больцман как минимум две проблемы, первая в нем присутствуют случайность, вторая с введением меры, результат оказался зависящим от способа разбиения допустимого множества, на элементарные подмножества.

Теперь подход Гиббса, который вроде как был призван решить эти проблемы. Гиббс рассматривает не вероятность попадание в то или иное подмножеств. А среднее время пребывание в этом подмножестве. А теорема Лиувилля говорит о том, что это время пропорционально фазовому объему соответствующей области.

Допустим область допустимых значений разбита на две подобласти одинакового фазового объема, тогда траектория побывает в каждой из них практически одинаковое время. Все вроде замечательно, и случайность (в выборе точки) не потребовалось, и разбивать область допустимых значений на элементарные подобласти не надо, да и вообще меру с вероятностью вводить судя по всему не надо.

Однако если эти области, это области Неймана, то подход Гиббса даст для одной области относительное время пребывания равное единице, а для другой ноль. Поэтому у Гиббса, если верна гипотеза эргодичности в первоначальном ее понимании, все траектории с разными начальными условиями суть точки одной траектории, но в разные моменты времени. Как это все будет для квазиэргодической гипотезы? Точно не знаю, но принципиальной разницы быть не должно.

И еще. Больцман с областями Неймана справиться, а Гиббс нет, ну если конечно не предполагать возможность «старта» с разными начальными условиями, но это значит опять возвращать случайность.

[EvgenyGR]

myhand в сообщении #296954 писал(а):

Только для того, чтобы мышка "пожила" макроскопическое время - фазовый объем должен быть пропорционально маленьким (ляпуновские неустойчивости, отсюда и экспонента выше).

А можно все то же самое только в параметрической модели? Ну типа так. Мышка состоит из атомов (пусть это будут минимальные объекты). Атомы объединены в молекулы аминокислот. Это значит на соответствующие атомы наложены связи, но связи не виде неких равенств, а в виде неравенств. Эти неравенства определяют некую область в общем фазовом объеме. На молекулы аминокислот наложены связи (опять же в виде неравенств) определяющие белки. Эти связи определяют в первой области некую меньшую подобласть, белки объединены в клетки, а это опять связи в виде неравенств и новая третья подобласть уже во второй подобласти, клетки объединены в наконец в мышку и соответственно еще меньшая подобласть. Все вместе это образует некую область в виде звезды (ну я просто не могу подобрать название) в многомерном фазовом пространстве. Назовем ее "областью живой мышки".
Любое реальное состояние, это траектория в фазовом пространстве, пересечение этой фазовой траектории с «областью живой мышки» это есть тот участок траектории когда мышка была жива. Чем дольше траектория не покидает «область живой мышки» тем дольше живет мышка. Чем меньше фазовый объем этой области, тем меньше вероятность случайно «создать мышку».

Если мы хотим чтобы случайно внешним воздействием (кроме подселения живой мышки) мышку сотворить было нельзя, а с другой стороны мышка жила долго, «область живой мышки» должна иметь очень маленький фазовый объем, а с другой стороны она должна быть вытянута вдоль траектории.

[EvgenyGR]

Someone в сообщении #295315 писал(а):

Известно, что у дифференциальных уравнений бывают особые решения, в точках которых единственность решения нарушается. Например, все решения дифференциального уравнения можно записать в виде

где , исключая комбинации и .
Здесь особое решение - . Дифференциальное решение не предопределяет поведение функции , если в какой-то момент времени .

Извините, что отвечаю только сейчас.

Рассмотрим Ваш пример с точки зрения параметрической модели. Для начала выразим свободные параметры a и b через u0 в момент времени t0. Это необходимо что бы получить отображение параметрического пространства в себя. Параметр у нас тут единственный это u. Продифференцируем полученное уравнение по u0, и тем самым найдем якобиан преобразования для нашего отображения. В интересующей нас точке, где u меняет знак, якобиан равен нулю.

Одномерный случай не так интересен, рассмотрим его для многомерного параметрического пространства. И так что значит, что якобиан преобразования стал равен нулю? Это означает, что на участке траектории, где якобиан стал равен нулю, уравнения описывающие траекторию параметров оказались зависимыми. Или по-другому размерность пространства параметров уменьшилась на единицу или более. Понятно, что когда траектория снова выйдет в изначальную размерность возникает произвол и ветвление, что Вы и показали.

Это кстати может быть одним из вариантов объяснения природы областей иррациональности, области где, «схлопывается» (на одну или более размерностей), а по выходе из области восстанавливается размерность параметрического пространства или по другому, это область к которой «привязан» локальный , закон (или несколько законов) сохранения.
]

[EvgenyGR]

Однако такое объяснение областей иррациональностей (через обнуление якобиана) невозможно в рамках классической механики. Дело в том, что для замкнутых механических систем якобиан всегда равен единицы (отсюда и теорема Лиувилля о сохранении фазового объема). На сколько я успел разобраться все попытки найти не детерминированность сводятся:

1) либо к отказу от замкнутости системы,
2) либо к рассмотрению не гамильтониановых систем, фактически необратимость вноситься уже в постановки задачи и выписывании уравнений.

Ни первый, ни второй способ, на мой взгляд, не решают проблемы, во всяком случае они ни чем не лучше гипотезы областей иррациональности.