Гармонически сопряженные функции

[maxmatem]

дана $Imf(z)=v(x;y)=ln(x^{2}-y^{2})+x-2y$ надо востанавить аналитическую ф-ию $f(z)$
я воспользовался условием Коши-Римана.
$v'_{x}=\frac{2x}{x^{2}-y^{2}}+1$
$v'_{y}=\frac{-2y}{x^{2}-y^{2}}-2$
тогда
$u'_{x}=\frac{-2y}{x^{2}-y^{2}}-2$
$u'_{y}=\frac{-2x}{x^{2}-y^{2}}-1$

$u(x;y)=-ln|\frac{x+y}{x-y}|-y+s(x)$
$u'_{x}=\frac{2y}{x^{2}-y^{2}}+s'(x)$
$s(x)=2ln|\frac{x+y}{x-y}|-2x$
$f(z)=ln|\frac{x+y}{x-y}|-2x-y+(ln(x^{2}-y^{2})+x-2y)i$
но когда я начинаю проверять то получаю, что если брать производные от ф-ии $f(z)$ от действительной части и получаю что
$u'_{x}=\frac{2y}{x^{2}-y^{2}}-2$
$u'_{y}=\frac{-2x}{x^{2}-y^{2}}-1$
вот здесь я засомневался правильно лия востановил ф-ию....
где ошибка?

[ewert]

maxmatem в сообщении #296235 писал(а):

$u'_{y}=\frac{-2x}{x^{2}-y^{2}}-1$

$u(x;y)=-ln|\frac{x+y}{x-y}|-y+s(x)$

Знак перед логарифмом перепутан. Из-за этого, между прочим, получается явно противоречивое

maxmatem в сообщении #296235 писал(а):

$s(x)=2ln|\frac{x+y}{x-y}|-2x$

(функция-то не имеет права зависеть от игрека). Вот тут-то бы сразу и встрепыхнуться...

[Padawan]

В Лаврентьеве-Шабате на стр. 203-204 описан очень удобный способ восстановления аналитической функции $f(z)$ по её действительной части $u(x,y),\;\;x+iy=z$, заданной в окрестности точки $z_0=x_0+iy_0$. Формула такая:

$$f(z)=2u\left(\frac{z+\overline{z}_0}{2},\frac{z-\overline{z}_0}{2i}\right)-\overline{c}_0,$$

где $c_0=f(z_0)$.

[maxmatem]

я понимаю что не должна ,но когда я $u'_{x}$ начинаю брать чтобы появилось $s'(x)$ но та логарифм зависящий от $x,y$ так тогда быть? если пользоваться методом который я использовал?

[ewert]

maxmatem в сообщении #296374 писал(а):

,но когда я $u'_{x}$ начинаю брать чтобы появилось $s'(x)$ но та логарифм зависящий от $x,y$ так тогда быть?

Вы только не волнуйтесь, Ваша ситуация далеко не уникальна. Каждый раз, когда Ваша функция $ начинает зависеть от двух переменных вместо одной, как положено -- это свисточек о том, что чего-то Вы там перед этим напортачили; ибо так не бывает и не может бывать. Вот и ищите свою арифметическую ошибку в предыдущих выкладках (в этом-то примере я Вам указал её явно).

Хотя возможен и ещё случай, когда та самая $ зависит от двух переменных. Это -- когда задача некорректна, т.е. когда исходная функция не является гармонической. Такое иногда по рассеянности составителей случается. Но этот случай -- не Ваш.

[maxmatem]

я полностью уверен,что правильно записал условие Коши-Римана, но где я допустил ошибку при вычислении

$$\int_{}^{} u'_{y}dy$$

я понять не могу! конечно когда я его первый раз вычислил то меня затерзали сомнения так как уж очень напрашивался там логарифм без минуса тогдабы они сократились... но не пойму где ошибка?

-- Чт мар 11, 2010 02:18:18 --

ewert. как вы в данном интеграле от минуса избавились я его раз 7 брал и никак от минуса не получается избавиться!? просто непонятно....

[ewert]

Извиняюсь за легкомыслие. Конечно, дело не в интеграле, а вот именно в некорректности задачи -- исходная функция не гармоническая:

$$\Delta v=v''_{xx}+v''_{yy}=\left(\dfrac{2x}{x^2-y^2}\right)'_x-\left(\dfrac{2y}{x^2-y^2}\right)'_y=\dfrac{2}{x^2-y^2}-\dfrac{4x^2}{(x^2-y^2)}-\left(\dfrac{2}{x^2-y^2}+\dfrac{4y^2}{(x^2-y^2)^2}\right)\not\equiv0.$$

Опечатка в условии -- там должно было стоять $\ln(x^2+y^2)$.

[maxmatem]

спасибо! вот уже давно собираюсь взять за правило,что перед тем как находить гармонически сопряженную функцию к данной, надо проверить удолитворяет ли данная функция оператору Лапсаса.тогда не было бы таких мучений