2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Гармонически сопряженные функции
Сообщение09.03.2010, 23:59 
Аватара пользователя


15/08/09
1458
МГУ
дана $Imf(z)=v(x;y)=ln(x^{2}-y^{2})+x-2y$ надо востанавить аналитическую ф-ию $f(z)$
я воспользовался условием Коши-Римана.
$v'_{x}=\frac{2x}{x^{2}-y^{2}}+1$
$v'_{y}=\frac{-2y}{x^{2}-y^{2}}-2$
тогда
$u'_{x}=\frac{-2y}{x^{2}-y^{2}}-2$
$u'_{y}=\frac{-2x}{x^{2}-y^{2}}-1$

$u(x;y)=-ln|\frac{x+y}{x-y}|-y+s(x)$
$u'_{x}=\frac{2y}{x^{2}-y^{2}}+s'(x)$
$s(x)=2ln|\frac{x+y}{x-y}|-2x$
$f(z)=ln|\frac{x+y}{x-y}|-2x-y+(ln(x^{2}-y^{2})+x-2y)i$
но когда я начинаю проверять то получаю, что если брать производные от ф-ии $f(z)$ от действительной части и получаю что
$u'_{x}=\frac{2y}{x^{2}-y^{2}}-2$
$u'_{y}=\frac{-2x}{x^{2}-y^{2}}-1$
вот здесь я засомневался правильно лия востановил ф-ию....
где ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонически сопряженные функции
Сообщение10.03.2010, 09:16 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
maxmatem в сообщении #296235 писал(а):
$u'_{y}=\frac{-2x}{x^{2}-y^{2}}-1$

$u(x;y)=-ln|\frac{x+y}{x-y}|-y+s(x)$

Знак перед логарифмом перепутан. Из-за этого, между прочим, получается явно противоречивое

maxmatem в сообщении #296235 писал(а):
$s(x)=2ln|\frac{x+y}{x-y}|-2x$

(функция-то не имеет права зависеть от игрека). Вот тут-то бы сразу и встрепыхнуться...

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонически сопряженные функции
Сообщение10.03.2010, 15:24 
Заслуженный участник


13/12/05
4521
В Лаврентьеве-Шабате на стр. 203-204 описан очень удобный способ восстановления аналитической функции $f(z)$ по её действительной части $u(x,y),\;\;x+iy=z$, заданной в окрестности точки $z_0=x_0+iy_0$. Формула такая:
$$f(z)=2u\left(\frac{z+\overline{z}_0}{2},\frac{z-\overline{z}_0}{2i}\right)-\overline{c}_0,$$
где $c_0=f(z_0)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонически сопряженные функции
Сообщение10.03.2010, 17:27 
Аватара пользователя


15/08/09
1458
МГУ
я понимаю что не должна ,но когда я $u'_{x}$ начинаю брать чтобы появилось $s'(x)$ но та логарифм зависящий от $x,y$ так тогда быть? если пользоваться методом который я использовал?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонически сопряженные функции
Сообщение10.03.2010, 19:58 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
maxmatem в сообщении #296374 писал(а):
,но когда я $u'_{x}$ начинаю брать чтобы появилось $s'(x)$ но та логарифм зависящий от $x,y$ так тогда быть?

Вы только не волнуйтесь, Ваша ситуация далеко не уникальна. Каждый раз, когда Ваша функция $ начинает зависеть от двух переменных вместо одной, как положено -- это свисточек о том, что чего-то Вы там перед этим напортачили; ибо так не бывает и не может бывать. Вот и ищите свою арифметическую ошибку в предыдущих выкладках (в этом-то примере я Вам указал её явно).

Хотя возможен и ещё случай, когда та самая $ зависит от двух переменных. Это -- когда задача некорректна, т.е. когда исходная функция не является гармонической. Такое иногда по рассеянности составителей случается. Но этот случай -- не Ваш.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонически сопряженные функции
Сообщение11.03.2010, 00:47 
Аватара пользователя


15/08/09
1458
МГУ
я полностью уверен,что правильно записал условие Коши-Римана, но где я допустил ошибку при вычислении $$\int_{}^{} u'_{y}dy$$ я понять не могу! конечно когда я его первый раз вычислил то меня затерзали сомнения так как уж очень напрашивался там логарифм без минуса тогдабы они сократились... но не пойму где ошибка?

-- Чт мар 11, 2010 02:18:18 --

ewert. как вы в данном интеграле от минуса избавились я его раз 7 брал и никак от минуса не получается избавиться!? просто непонятно....

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонически сопряженные функции
Сообщение11.03.2010, 08:49 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Извиняюсь за легкомыслие. Конечно, дело не в интеграле, а вот именно в некорректности задачи -- исходная функция не гармоническая: $$\Delta v=v''_{xx}+v''_{yy}=\left(\dfrac{2x}{x^2-y^2}\right)'_x-\left(\dfrac{2y}{x^2-y^2}\right)'_y=\dfrac{2}{x^2-y^2}-\dfrac{4x^2}{(x^2-y^2)}-\left(\dfrac{2}{x^2-y^2}+\dfrac{4y^2}{(x^2-y^2)^2}\right)\not\equiv0.$$ Опечатка в условии -- там должно было стоять $\ln(x^2+y^2)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонически сопряженные функции
Сообщение11.03.2010, 20:19 
Аватара пользователя


15/08/09
1458
МГУ
спасибо! вот уже давно собираюсь взять за правило,что перед тем как находить гармонически сопряженную функцию к данной, надо проверить удолитворяет ли данная функция оператору Лапсаса.тогда не было бы таких мучений :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group