Существует ли простое число между n и 2n

[Антипка]

Верно ли, что для любого натурального $n$ существует по крайней мере одно простое число $p$, лежащее в пределах от $n$ до $2n$ включительно ($n\le p\le 2n$)? В каких книжках можно об этом прочитать?

[Антипка]

Сам же и нашел ответ. Теорема Чебышева, однако. А рассматривается, например, в книге "Трост Э. Простые числа. М., 1959", с. 69. Вот стоит только спросить, и ответ находится сам собой. "Вселенский разум" в действии.

[икс и грек]

А найдётся ли простое число между n^2 и (n+1)^2, где n - натуральное число?

[Руст]

Этот вопрос уже здесь обсуждался. Пока доказано, что между n и $n+n^{0.525}$ всегда существует простое число при n>const.

[maxal]

икс и грек писал(а):

А найдётся ли простое число между n^2 и (n+1)^2, где n - натуральное число?

Это т.н. гипотеза Лежандра или 3-я проблема Ландау.

[икс и грек]

Бесконечно ли количесткво простых чисел вида 4n^2+1, n - натуральное?

[Руст]

Это частный случай Гипотезы Шинцеля. Тут Котофеич утверждал, что он доказал частный случай этой гипотезы, включающий ваш случай. Я просил его представить на форуме для обсуждения, однако он это не сделал.

[Highwind]

Руст писал(а):

Это частный случай Гипотезы Шинцеля. Тут Котофеич утверждал, что он доказал частный случай этой гипотезы, включающий ваш случай. Я просил его представить на форуме для обсуждения, однако он это не сделал.

Не поделитесь ссылкой на вашу с ним беседу?

[икс и грек]

А равносильны ли тогда гипотезы о бесконечности простых чисел вида n^2+1 и 4n^2+1, n - натуральное? Ведь в первом случае n - чётное.

[Руст]

Эквивалентны и ничем не отличаются.
Котофеич утверждал о доказательстве бесконечности простых вида $ax^2+b,(a,b)=1$ методами нестандартной математики в тематике обсуждения противоречивости теории множеств ZF.

[megamix62]

Серпинский утверждает, что для $n>5$
между $n$ и $2n$ содержится по меньшей мере 2 простых чисел...

Может кто то скинет ссылку с док-вом

[Sonic86]

megamix62 в сообщении #663101 писал(а):

Серпинский утверждает, что для $n>5$
между $n$ и $2n$ содержится по меньшей мере 2 простых чисел...

Может кто то скинет ссылку с док-вом

Для доказательства для $n>n_0$ достаточно утверждения о том, что между $n$ и $n\sqrt{2}$ содержится хотя бы одно простое число. Можно брать обычную конструкцию Чебышёва, где доказывается существование простого между $n$ и $\frac{6}{5}n$ для достаточно большого $n>n_0$.
Доказательства есть в:
1. Чебышеве
2. Бухштабе
3. Галочкине, Нестеренко, Шидловском.
4. В книге Доказательства из Книги (качественное док-во там точно есть)
5. Тросте
6. Чендрасекхаране
Утверждение также следует из асимптотического закона распределения, доказательство которого есть в:
1. Галочкине, Нестеренко, Шидловском.
2. Прахаре.
3. В Титчмарше должно быть
4. Ингаме.
5. Воронине, Карацубе.
6. Карацубе
7. Iwaniec
8. Edwards