Теория детерминизма Лапласа

[myhand]

EvgenyGR в сообщении #295795 писал(а):

Я могу рассмотреть и более яркий пример. Возьмем замкнутую систему с живой мышью. Мышь рано или поздно сдохнет, разложиться, а потом восстанет из праха и снова будет жива.

Что меня смущает в истории с мышью. Для меня естественно ситуация что на отдельно взятой планете самозарождение жизни возможно, а вот в отдельно взятом изолированном ящике (пусть там даже есть все необходимые химические элементы) зарождение жизни невозможно. Но детерминизм не различает планету и ящик, ну разве что для ящика придется подольше подождать. Если же рассуждать с позиции существования областей иррациональности и Неймана , то вроде все становиться на свои места. Действительно чем больше параметров теряют детерминированность (при условии сохранения инвариантов) тем в большее количество областей Неймана может попасть система

Вас смущают размеры замкнутой системы, верно?

Так давайте учтем квантовую механику при рассмотрении небольших систем. Если мы не прекращаем наблюдать мышку в ящике - постоянно происходит измерение системы. Квантовая система не замкнута, даже если "не замкнутость" - достаточно мала (фотоны света, рассеявающиеся на мышке и попадающие в итоге нам в глаза...). Почему в итоге должно выполняться предсказание теоремы Пуанкаре (справедливое, грубо говоря, для замкнутых классических гамильтоновых систем)?

Для справки. Ни один современный биолог в здравом рассудке не будет утверждать, что "на отдельно взятой планете самозарождение жизни возможно". Нет и нет, если система замкнута, как и Ваш ящик с мышкой. Фокус в том как раз, что планеты не являются замкнутыми. Если бы какая-то редиска погасила Солнце после того, как сформировалась Земля - все, "тушите свет" в отношение эволюции жизни на планете.

EvgenyGR в сообщении #295790 писал(а):

С другой стороны поставим такой мысленный опыт. Возьмем переохлажденную воду и полностью изолируем ее от окружающего мира (замкнутая система). Возможны две альтернативы:

1) вода рано или поздно перейдет в твердое состояние
2) вода так и останется жидкой.

Есть третья альтернатива - в сосуде будет временем определенная пропорция жидкости и твердого тела. Что будет - зависит от давления и количества вещества. И какое это имеет отношение к самоорганизации, если Вы начальные условия специально приготовили?

[EvgenyGR]

myhand в сообщении #295841 писал(а):

Вас смущают размеры замкнутой системы, верно?

А что мешает запереть наблюдателя вместе с мышью, заодно вместе и восстанут из праха. . Вселенная, говорите, нет проблем, ну если конечно она замкнута. Да, кстати, у нас необходимых параметров для описания всей вселенной нужно конечное или все же бесконечное число?


Про воду имеется ввиду ситуация, когда вода долго (непонятно как долго) находиться в состоянии переохлаждения и остается жидкой, а потом после небольшого внешнего воздействия вся (ну почти вся), почти мгновенно превращается в лед. Вопрос был в том это время пребывания в жидком состоянии может быть бесконечным?

Есть ситуация и хуже – конденсация пара. Как образуется – зародыш капли? Через флуктуацию? Вообще-то если в тумане таких зародышей образуются N и это N очень большое число, то вероятность такого события это вероятность флуктуации в степени N.

-- Пн мар 08, 2010 15:21:12 --

В принципе я знаю ответ про воду. Можно конечно сказать что эта специально приготовленное событие (незамерзающая переохлажденная вода) имеет с одной стороны очень малый фазовый объем, но этот объем сильно вытянут вдоль траектории. Пусть так. Назовем эти области квази областями Неймана, и зададимся вопросом: а сколько такого рода областей может быть в реальном мире? Наверно все, что относиться к жизни, придется причислить к таким областям. Но не случиться ли так что эволюция построенная на такой модели будет слишком долгой если вообще будет? Однако если есть зоны иррациональности то попадание (и соответственно «зависание») становиться не просто вероятным а очень вероятным в силу их вытянутости. Сказывается отношение объема области к ее поверхности (перескок происходит через поверхность ).

[myhand]

EvgenyGR в сообщении #295864 писал(а):

А что мешает запереть наблюдателя вместе с мышью, заодно вместе и восстанут из праха. . Вселенная, говорите, нет проблем, ну если конечно она замкнута.

Есть проблема - наблюдатель умрет и нам ничего не расскажет.

Теорема Пуанкаре-Цермело просто утверждает, что со временем - любое состояние механической системы (точка в фазовом пространстве) - повторится с наперед заданной точностью.

При каких условиях это справедливо в классической механике для случая мыши в ящике - отдельный вопрос. Можете назвать условия? Подсказка - "замкнутость" механической системы - лишь одно из. Теорема Пуанкаре справедлива для шарового скопления (отвлечемся от строения звезд - просто материальные точки)?

Грубо говоря - состояние - это моментальный слепок координат и импульсов атомов мыши (и других атомов в ящике) в определенный момент времени. По прошествии астрономического количества времени $\tau$ - оно повторится, только из этого не следует, что это будет похоже на живую мышку. Просто атомы в ящике на какие-то мгновения соединятся в нечто, напоминающее мышь. Скорее появление призрака, чем какое-то "самозарождение". Чтобы мышка пожила конечное время - подождите еще "всего-то" $e^\tau$ времени.

EvgenyGR в сообщении #295864 писал(а):

Да, кстати, у нас необходимых параметров для описания всей вселенной нужно конечное или все же бесконечное число?

Что такое параметр?

EvgenyGR в сообщении #295864 писал(а):

Про воду имеется ввиду ситуация, когда вода долго (непонятно как долго) находиться в состоянии переохлаждения и остается жидкой, а потом после небольшого внешнего воздействия вся (ну почти вся), почти мгновенно превращается в лед. Вопрос был в том это время пребывания в жидком состоянии может быть бесконечным?

И как Вы предполагаете решить этот вопрос?
Численным моделированием?
Аналитически, для какой-то конкретной механической модели?

EvgenyGR в сообщении #295864 писал(а):

Есть ситуация и хуже – конденсация пара. Как образуется – зародыш капли? Через флуктуацию? Вообще-то если в тумане таких зародышей образуются N и это N очень большое число, то вероятность такого события это вероятность флуктуации в степени N.

Большое, это насколько? Одного-двух-десяток - не хватит для последующей конденсации? Есть оценка для вероятности образования зародыша жидкости в перегретом паре (это не "туман" - где полно примесей для конденсации, а именно очень чистый перегретый пар)? Подсказка - роль флуктуаций значительно растет для метастабильных макроскопических состояний, $1^N$ = 1.

EvgenyGR в сообщении #295864 писал(а):

В принципе я знаю ответ про воду. Можно конечно сказать что эта специально приготовленное событие (незамерзающая переохлажденная вода) имеет с одной стороны очень малый фазовый объем, но этот объем сильно вытянут вдоль траектории.

Фазовый объем не может быть "сильно вытянут вдоль траектории". Фазовое пространство в классической механике - $6N$ импульсов и координат. "Приготовленное событие" - точка в фазовом пространстве, обладающее определенными макропараметрами (практически, их можно вычислить, понаблюдав за механической динамикой системы на определенном конечном отрезке времени). Макропараметры - это температура, давление, удельный объем и т.п.

Если макропараметры Вам подходят (Вы классифицируете это как "перегретый пар") - можно понаблюдать за системой подольше и посмотреть что будет. И ответить на Ваш вопрос - что будет с макропараметрами дальше. В рамках модели классической механики.

Из соображений статистической механики, мера подходящих Вам состояний (сохраняющих метастабильное макросостояние) - будет равна нулю. А если и не нулю - то сильно зависеть от деталей математической модели, которую Вы использовали (форма потенциалов для межчастичного взаимодействия, к примеру).

[EvgenyGR]

myhand в сообщении #295910 писал(а):

При каких условиях это справедливо в классической механике для случая мыши в ящике - отдельный вопрос. Можете назвать условия? Подсказка - "замкнутость" механической системы - лишь одно из. Теорема Пуанкаре справедлива для шарового скопления (отвлечемся от строения звезд - просто материальные точки)?

Условие одно конечность фазового объема замкнутой системы.

myhand в сообщении #295910 писал(а):

Грубо говоря - состояние - это моментальный слепок координат и импульсов атомов мыши (и других атомов в ящике) в определенный момент времени.

Однако мыши соответствует множество таких состояний причем фазовый объем все таких состояний должен быть отличен от нуля.

myhand в сообщении #295910 писал(а):

Скорее появление призрака, чем какое-то "самозарождение".

Очень здравые слова, Больцман бы их возможно одобрил, а вот Гиббс нет.

myhand в сообщении #295910 писал(а):

Что такое параметр?

Число, скорее всего действительное. . В классике координаты и импульсы. В общим случае что угодно лишь бы однозначно определяли состояние модели.

[master]

любая система не является замнкнутой, или по краней мере замкнутой но условно

[EvgenyGR]

myhand в сообщении #295910 писал(а):

"Приготовленное событие" - точка в фазовом пространстве, обладающее определенными макропараметрами (практически, их можно вычислить, понаблюдав за механической динамикой системы на определенном конечном отрезке времени). Макропараметры - это температура, давление, удельный объем и т.п.

Вы говорите об усреднение по времени. Для его совпадения с усреднением по фазовому объему (а он тут главный) нужна эргодичность. И помним что макропараметры это для равновестных состояний. Приготовленное событие, да это точка, но она должна быть одна из многих т.е. из области не нулевой меры соответствующей событию (в смысле что точка уже там или траетория исходящая из этой точки попадет в область события в ближайшее время).

myhand в сообщении #295910 писал(а):

Фазовый объем не может быть "сильно вытянут вдоль траектории".

Это для меня важно, можете как-то жестче отмести такую возможность.

myhand в сообщении #295910 писал(а):

Если макропараметры Вам подходят (Вы классифицируете это как "перегретый пар") - можно понаблюдать за системой подольше и посмотреть что будет. И ответить на Ваш вопрос - что будет с макропараметрами дальше. В рамках модели классической механики.

Из соображений статистической механики, мера подходящих Вам состояний (сохраняющих метастабильное макросостояние) - будет равна нулю. А если и не нулю - то сильно зависеть от деталей математической модели, которую Вы использовали (форма потенциалов для межчастичного взаимодействия, к примеру).

Честно прочел несколько раз, но так и не понял, что Вы хотели сказать. Единственный возможный комментарий если мера состояния ноль, оно почти наверное невозможно (термин для событий с нулевой вероятности уж не помню откуда взял, вроде с лекций по терверу.)

-- Пн мар 08, 2010 19:46:57 --

master в сообщении #295927 писал(а):

любая система не является замнкнутой, или по краней мере замкнутой но условно

Т.е. все системы имееют бесконечный фазовый объем?

[myhand]

EvgenyGR в сообщении #295923 писал(а):

Условие одно конечность фазового объема замкнутой системы.

А с чего Вы взяли, что он конечен?

Я же даже привел контрпример с шаровым скоплением - чем мышка-то в ящике принципиально отличается? Почему ее "движение" только в ограниченном объеме фазового пространства происходит?

EvgenyGR в сообщении #295923 писал(а):

myhand в сообщении #295910 писал(а):

Грубо говоря - состояние - это моментальный слепок координат и импульсов атомов мыши (и других атомов в ящике) в определенный момент времени.

Однако мыши соответствует множество таких состояний причем фазовый объем все таких состояний должен быть отличен от нуля.

Вряд-ли Вас интересуют такие точки этого объема, при старте с которых - мышка рассыпается в прах сразу-же. Нужно, чтобы мышка побыла в этой области макроскопическое время. В этом и причина появления дополнительной экспоненты.

EvgenyGR в сообщении #295923 писал(а):

myhand в сообщении #295910 писал(а):

Скорее появление призрака, чем какое-то "самозарождение".

Очень здравые слова, Больцман бы их возможно одобрил, а вот Гиббс нет.

Почему?

EvgenyGR в сообщении #295923 писал(а):

myhand в сообщении #295910 писал(а):

Что такое параметр?

Число, скорее всего действительное. . В классике координаты и импульсы. В общим случае что угодно лишь бы однозначно определяли состояние модели.

Я рассматривал конкретную модель - классическая механика. В контексте которой можно использовать теорему Пуанкаре. И приведенный Вами парадокс/проблема с мышкой - имеет хоть какой-то смысл.

EvgenyGR в сообщении #295923 писал(а):

myhand в сообщении #295910 писал(а):

Если макропараметры Вам подходят (Вы классифицируете это как "перегретый пар") - можно понаблюдать за системой подольше и посмотреть что будет. И ответить на Ваш вопрос - что будет с макропараметрами дальше. В рамках модели классической механики.

Из соображений статистической механики, мера подходящих Вам состояний (сохраняющих метастабильное макросостояние) - будет равна нулю. А если и не нулю - то сильно зависеть от деталей математической модели, которую Вы использовали (форма потенциалов для межчастичного взаимодействия, к примеру).

Честно прочел несколько раз, но так и не понял, что Вы хотели сказать. Единственный возможный комментарий если мера состояния ноль, оно почти наверное невозможно (термин для событий с нулевой вероятности уж не помню откуда взял, вроде с лекций по терверу.)

Мне казалось - у Вас был вполне "физический" вопрос. В замкнутой системе - макроскопически метастабильное состояние будет жить вечно? Могут быть такие условия? Ответ - нет. См. выше почему.

[master]

EvgenyGR в сообщении #295931 писал(а):

Т.е. все системы имееют бесконечный фазовый объем?

Не пользуюсь понятием фазового пространства, но на сколько разобрался по видимому да.

[EvgenyGR]

myhand в сообщении #295933 писал(а):

А с чего Вы взяли, что он конечен?

Я же даже привел контрпример с шаровым скоплением - чем мышка-то в ящике принципиально отличается? Почему ее "движение" только в ограниченном объеме фазового пространства происходит?

Вообще-то теорема Пуанкоре выпоняется только если область фазового пространства имеет конечный фазовый объем. Если все системы имеют бесконечный фазовый объем, то не понятно зачем Пуанкоре так напрягался. .

myhand в сообщении #295933 писал(а):

EvgenyGR в сообщении #295923 писал(а):
myhand в сообщении #295910 писал(а):
Скорее появление призрака, чем какое-то "самозарождение".


Очень здравые слова, Больцман бы их возможно одобрил, а вот Гиббс нет.



Почему?

Потому что в подходе Больцмана случайность не отвергается до конца, если ее аккуратно ввести то Больцмановские рассуждения остануться в силе. Больцман усредняет по фазовому объему. А вот у Гиббса все принципиально детерминированно, он усредняет по траектории (формально по времени). Для Гиббса важна эргодичность, а "метастабильное состояния", если я правельно понял (я лишь бегло заглянул в инет), сразу объявляют что система не эргодична, привет Гиббсу. .

[myhand]

EvgenyGR в сообщении #295931 писал(а):

myhand в сообщении #295910 писал(а):

"Приготовленное событие" - точка в фазовом пространстве, обладающее определенными макропараметрами (практически, их можно вычислить, понаблюдав за механической динамикой системы на определенном конечном отрезке времени). Макропараметры - это температура, давление, удельный объем и т.п.

Вы говорите об усреднение по времени. Для его совпадения с усреднением по фазовому объему (а он тут главный) нужна эргодичность.

Вообще-то от разумной модели, описывающей газ или жидкость - естественно требовать эргодичность.

EvgenyGR в сообщении #295931 писал(а):

И помним что макропараметры это для равновестных состояний.

Нет, не только для. Вы не можете определить давление в газе, в данной точке, - если он не находится в состоянии равновесия?

EvgenyGR в сообщении #295943 писал(а):

Вообще-то теорема Пуанкоре выпоняется только если область фазового пространства имеет конечный фазовый объем. Если все системы имеют бесконечный фазовый объем, то не понятно зачем Пуанкоре так напрягался. .

Где я Вам сказал, что все? Просто, вдруг у Вас неправильная модель мышки.

Сформулируйте, пожалуйста, теорему Пуанкаре и покажите, что Ваша модель ей соответствует.

EvgenyGR в сообщении #295943 писал(а):

Потому что в подходе Больцмана случайность не отвергается до конца, если ее аккуратно ввести то Больцмановские рассуждения остануться в силе. Больцман усредняет по фазовому объему. А вот у Гиббса все принципиально детерминированно, он усредняет по траектории. Для Гиббса важна эргодичность, а "метастабильное состояния", если я правельно понял (я лишь бегло заглянул в инет), сразу объявляют что система не эргодична, привет Гиббсу. .

[/quote]

Нет. Это именно Гиббс ввел понятие статистический ансамбль - начал изучать несколько "копий" механической системы, отличающихся начальными условиями.

Сказать, наоборот, что Больцман "усреднял по траекториям" - тоже нельзя. Скажем так, он делал некоторые "естественные предположения" о поведении отдельных подсистем при взаимодействии. Например, столкновение молекул в газе. Сейчас эти предположения используются при обрыве цепочки ББКГИ в статистической механике - для вывода уравнений Больцмана.

PS: "метастабильное состояния" - это "перегретая жидкость", например. К эргодичности - отношения прямого не имеет.

[EvgenyGR]

myhand в сообщении #295956 писал(а):

Нет. Это именно Гиббс ввел понятие статистический ансамбль - начал изучать несколько "копий" механической системы, отличающихся начальными условиями.

У Ландлифшица статистический ансамбыль понимается как точки с одной траектрории, но взятые в разный момент времени. Если областей Неймана нет то одна хрень, а вот если есть... Все жена спать гонит. Спокойной всем ночи. .

[EvgenyGR]

myhand в сообщении #295956 писал(а):

Где я Вам сказал, что все? Просто, вдруг у Вас неправильная модель мышки.

Сформулируйте, пожалуйста, теорему Пуанкаре и покажите, что Ваша модель ей соответствует.

Видимо все идет от того что Вы рассуждаете объектами, а я параметрическими пространствами. В моих рассуждениях понятия замкнутости не замкнутости вторичны. Если Вы говорите что систему нельзя дополнить до замкнутой, для меня это означает что пространство параметров бесконечно мерно. Помните я Вас об этом спрашивал? Можно по разному сделать параметрическое пространство бесконечно мерным идя от абстракции объекта. Можно считать что объектов бесконечно много, можно? например, предположить что лагранжеан это бесконечный ряд из выпуклых функционалов по степеням производных от координат. Но как в случае бесконечномерных пространств быть с мерой, любой кубик, со сколь угодно малой гранью бесконечно мерного параметрического пространства будет иметь бесконечный объем?

[myhand]

EvgenyGR в сообщении #296003 писал(а):

У Ландлифшица статистический ансамбыль понимается как точки с одной траектрории, но взятые в разный момент времени.

Ссылку, пожалуйста. Том, параграф(страница).

[EvgenyGR]

myhand в сообщении #296069 писал(а):

EvgenyGR в сообщении #296003 писал(а):
У Ландлифшица статистический ансамбыль понимается как точки с одной траектрории, но взятые в разный момент времени.


Ссылку, пожалуйста. Том, параграф(страница).

Том пятый параграф 3, там, где выводится теорема Лиувилля , как раз в контексте изложения подхода Гиббса. Я, конечно, погорячился Ландлившиц не определяет понятие статистического ансамбля, а это всего лишь частный случай. Хотя с другой стороны наверно много случаев статистических ансамблей можно подвести под это определение.

Теперь о мышке и теореме Пуанкаре. И так возьмем мышку (точнее модель мышки) и чуть «подергаем» за все координаты и импульсы которые относятся к ней как к физическому объекту. Наверно если дергать не сильно, то мышка этого даже не заметит. Иными словами точка состояния отвечающего «ящик с мышкой» входит в множество таких точек вместе с некоторой окрестностью. А раз так то по теореме Пуанкаре мы через некоторое конечное время после его рассыпания в прах получим опять полноценного грызуна.

-- Вт мар 09, 2010 20:02:58 --

[

myhand в сообщении #295933 писал(а):

Мне казалось - у Вас был вполне "физический" вопрос. В замкнутой системе - макроскопически метастабильное состояние будет жить вечно? Могут быть такие условия? Ответ - нет. См. выше почему.

По поводу метастабильных состояний, на сколько я успел разобраться все крутиться как раз вокруг областей Неймана. Для малого числа степеней свободы они очевидно есть, следовательно метастабильное состояние вечно. Можно придумать систему со сколь угодно большим числом степеней свободы, например множество не связанных осцилляторов (вообще говоря любых систем с потенциальной энергией задаваемой квадратичной формой). Что касается реальных физических объектов, то как я понимаю, гипотеза эргодичности пока не стала теоремой.

[myhand]

EvgenyGR в сообщении #296162 писал(а):

Том пятый параграф 3, там, где выводится теорема Лиувилля , как раз в контексте изложения подхода Гиббса. Я, конечно, погорячился Ландлившиц не определяет понятие статистического ансамбля, а это всего лишь частный случай. Хотя с другой стороны наверно много случаев статистических ансамблей можно подвести под это определение.

Неа. У меня на стр.25 (4 изд.) - сноска. "Такую воображаемую совокупность одинаковых систем обычно называют статистическим ансамблем". Вполне по-Гиббсу, т.е. без всяких усреднений по траекториям...

EvgenyGR в сообщении #296162 писал(а):

И так возьмем мышку (точнее модель мышки) и чуть «подергаем» за все координаты и импульсы которые относятся к ней как к физическому объекту. Наверно если дергать не сильно, то мышка этого даже не заметит. Иными словами точка состояния отвечающего «ящик с мышкой» входит в множество таких точек вместе с некоторой окрестностью. А раз так то по теореме Пуанкаре мы через некоторое конечное время после его рассыпания в прах получим опять полноценного грызуна.

Это так. (Если, конечно, механическая модель мышки позволяет теореме Пуанкаре "работать".)

Только для того, чтобы мышка "пожила" макроскопическое время - фазовый объем должен быть пропорционально маленьким (ляпуновские неустойчивости, отсюда и экспонента выше).