Определенный интеграл

[Hitp]

Подскажите пожалуйста как подступиться к интегралу $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaybCaeqale % aacaaIWaaabaGaaGymaaqdbaGaey4kIipaaOWaaSaaaeaacaWG4bWa % aWbaaSqabeaacaaI0aaaaOGaamizaiaadIhaaeaadaGcaaqaaiaais % dacqGHsislcaWG4bWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaqabaaaaaaa!4166! \[ \mathop \smallint \limits_0^1 \frac{{x^4 dx}}{{\sqrt {4 - x^2 } }} \] $
пытался решать по частям, но получается ещё более сложный интеграл

[Padawan]

Это дифференциальный бином, проверьте выполняется ли один из трех случаев его интегрируемости в элементарных функциях. А если даже и не выполняется -- выразите его через $B$-функцию.

[arqady]

А разве $x=2\sin t $ не помогает?

[Профессор Снэйп]

А что с четвёртой степенью арксинуса делать?

[Padawan]

Ах, через $B$-не выражается, там пределы не подходящие

[arqady]

Профессор Снэйп в сообщении #295461 писал(а):

А что с четвёртой степенью арксинуса делать?

Во-первых, там будет четвёртая степень синуса, а во-вторых - понизить степень.

[Профессор Снэйп]

arqady в сообщении #295473 писал(а):

Во-первых, там будет четвёртая степень синуса

Точно! Там даже косинусы сокращаются, который в знаменателе из-под корня вылазят и который в числителе из $dx = 2 \cos t\,dt$ получается

[Hitp]

воспользовался тригонометрической подстановкой получилось
$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaybCaeqale % aaaeaaa0qaaiabgUIiYdaakiGacYgacaGGUbGaaiikaiGacohacaGG % LbGaai4yaiaadshacqGHRaWkcaWG0bGaam4zaiaadshacaGGPaaaaa!4327! \[ \mathop \smallint \limits_{}^{} \ln (\sec t + tgt) \] $
и соответственно
$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaybCaeqale % aacaaIWaaabaGaaGymaaqdbaGaey4kIipaaOGaciiBaiaac6gacaGG % OaWaaSaaaeaacaaIYaaabaWaaOaaaeaacaaI0aGaeyOeI0IaamiEam % aaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaeqaaaaakiabgUcaRmaalaaabaGaamiE % aaqaamaakaaabaGaaGinaiabgkHiTiaadIhadaahaaWcbeqaaiaaik % daaaaabeaaaaGccaGGPaGaeyypa0JaciiBaiaac6gadaWcaaqaaiaa % iodaaeaadaGcaaqaaiaaiodaaSqabaaaaaaa!4BBA! \[ \mathop \smallint \limits_0^1 \ln (\frac{2}{{\sqrt {4 - x^2 } }} + \frac{x}{{\sqrt {4 - x^2 } }}) = \ln \frac{3}{{\sqrt 3 }} \] $
верно?

[Профессор Снэйп]

У меня ответ получился

$$ \frac{4\pi - 7\sqrt{3}}{64}, $$

никакими логарифмами даже близко не пахнет. Да и неоткуда им там взяться.

[bot]

Неверно - неоткуда логарифму взяться. Действуйте как сказал arqady.
Степень понижать можно по рекуррентности, которая возникает из интегрирования по частям, а можно удвоением аргумента - всего-то два раза воспользоваться.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #295498 писал(а):

У меня ответ получился

$$ \frac{4\pi - 7\sqrt{3}}{64}, $$

никакими логарифмами даже близко не пахнет. Да и неоткуда им там взяться.

Только почему на 64?... Просто на 4.

[Hitp]

я решал так $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEaiabg2 % da9iaaikdaciGGZbGaaiyAaiaac6gacaWG0baaaa!3C7D! \[ x = 2\sin t \] $
$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamizaiaadI % hacqGH9aqpcaaIYaGaci4yaiaac+gacaGGZbGaamiDaiaadsgacaWG % 0baaaa!3F43! \[ dx = 2\cos tdt \] $
полсле преобразований
$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaey4kIi-aaS % aaaeaaciGGZbGaaiyAaiaac6gadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaWG % 0baabaGaci4yaiaac+gacaGGZbGaamiDaaaacaWGKbGaamiDaaaa!423A! \[ \smallint \frac{{\sin ^2 t}}{{\cos t}}dt \] $
затем
$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaey4kIi-aaS % aaaeaaciGGZbGaaiyAaiaac6gadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaWG % 0baabaGaci4yaiaac+gacaGGZbGaamiDaaaacaWGKbGaamiDaiabg2 % da9maalaaabaGaaGymaaqaaiaaikdaaaWaa8qaaeaadaWcaaqaaiaa % igdacqGHsislciGGJbGaai4BaiaacohacaWG0baabaGaci4yaiaac+ % gacaGGZbGaamiDaaaaaSqabeqaniabgUIiYdGccqGH9aqpdaWdbaqa % amaalaaabaGaamizaiaacIcaciGGZbGaaiyzaiaacogacaWG0bGaey % 4kaSIaamiDaiaadEgacaWG0bGaaiykaaqaaiGacohacaGGLbGaai4y % aiaadshacqGHRaWkcaWG0bGaam4zaiaadshaaaaaleqabeqdcqGHRi % I8aOGaey4kaSYaa8qaaeaacaWGKbGaamiDaaWcbeqab0Gaey4kIipa % kiabg2da9iGacYgacaGGUbGaaiikaiGacohacaGGLbGaai4yaiaads % hacqGHRaWkcaWG0bGaam4zaiaadshacaGGPaGaey4kaSIaamiDaiab % gUcaRiaadogaaaa!78B0! \[ \smallint \frac{{\sin ^2 t}}{{\cos t}}dt = \frac{1}{2}\int {\frac{{1 - \cos t}}{{\cos t}}} = \int {\frac{{d(\sec t + tgt)}}{{\sec t + tgt}}} + \int {dt} = \ln (\sec t + tgt) + t + c \] $
$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaci4Caiaacw % gacaGGJbGaamiDaiabg2da9maalaaabaGaaGOmaaqaamaakaaabaGa % aGinaiabgkHiTiaadIhadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaabeaaaaaaaa!3F22! \[ \sec t = \frac{2}{{\sqrt {4 - x^2 } }} \] $ $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiDaiaadE % gacaWG0bGaeyypa0ZaaSaaaeaacaWG4baabaWaaOaaaeaacaaI0aGa % eyOeI0IaamiEamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaeqaaaaaaaa!3E7F! \[ tgt = \frac{x}{{\sqrt {4 - x^2 } }} \] $ $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiDaiabg2 % da9iGacggacaGGYbGaai4yaiaacohacaGGPbGaaiOBamaalaaabaGa % amiEaaqaaiaaikdaaaaaaa!3F4F! \[ t = \arcsin \frac{x}{2} \] $
получается
$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaciiBaiaac6 % gacaGGOaWaaSaaaeaacaaIYaaabaWaaOaaaeaacaaI0aGaeyOeI0Ia % amiEamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaeqaaaaakiabgUcaRmaalaaaba % GaamiEaaqaamaakaaabaGaaGinaiabgkHiTiaadIhadaahaaWcbeqa % aiaaikdaaaaabeaaaaGccaGGPaGaey4kaSIaciyyaiaackhacaGGJb % Gaai4CaiaacMgacaGGUbWaaSaaaeaacaWG4baabaGaaGOmaaaacqGH % 9aqpdaWcaaqaaiaaiodaaeaadaGcaaqaaiaaiodaaSqabaaaaOGaey % 4kaSYaaSaaaeaacqaHapaCaeaacaaI2aaaaaaa!51A4! \[ \ln (\frac{2}{{\sqrt {4 - x^2 } }} + \frac{x}{{\sqrt {4 - x^2 } }}) + \arcsin \frac{x}{2} = \frac{3}{{\sqrt 3 }} + \frac{\pi }{6} \] $
где ошибка?

[bot]

У мну вышло $2\pi - \frac{7\sqrt 3}{4}$

ЗЫ. Перепроверил и исправил девятку на семёрку.

[ewert]

Hitp в сообщении #295508 писал(а):

$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaey4kIi-aaS % aaaeaaciGGZbGaaiyAaiaac6gadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaWG % 0baabaGaci4yaiaac+gacaGGZbGaamiDaaaacaWGKbGaamiDaaaa!423A! \[ \smallint \frac{{\sin ^2 t}}{{\cos t}}dt \] $

Косинусы не сокращены, степени перепутаны, о двойках вообще ни сном ни духом и вообще полный бардак.

[bot]

Hitp в сообщении #295508 писал(а):

полсле преобразований

Уже неверно