2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Определенный интеграл
Сообщение07.03.2010, 12:02 


24/10/09
114
Подскажите пожалуйста как подступиться к интегралу $% MathType!MTEF!2!1!+-
% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaybCaeqale
% aacaaIWaaabaGaaGymaaqdbaGaey4kIipaaOWaaSaaaeaacaWG4bWa
% aWbaaSqabeaacaaI0aaaaOGaamizaiaadIhaaeaadaGcaaqaaiaais
% dacqGHsislcaWG4bWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaqabaaaaaaa!4166!
\[
\mathop \smallint \limits_0^1 \frac{{x^4 dx}}{{\sqrt {4 - x^2 } }}
\]
$
пытался решать по частям, но получается ещё более сложный интеграл

 Профиль  
                  
 
 Re: Определенный интеграл
Сообщение07.03.2010, 12:06 
Заслуженный участник


13/12/05
4525
Это дифференциальный бином, проверьте выполняется ли один из трех случаев его интегрируемости в элементарных функциях. А если даже и не выполняется -- выразите его через $B$-функцию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определенный интеграл
Сообщение07.03.2010, 12:15 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
А разве $x=2\sin t $ не помогает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определенный интеграл
Сообщение07.03.2010, 12:19 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
А что с четвёртой степенью арксинуса делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определенный интеграл
Сообщение07.03.2010, 12:22 
Заслуженный участник


13/12/05
4525
Ах, через $B$-не выражается, там пределы не подходящие :(

 Профиль  
                  
 
 Re: Определенный интеграл
Сообщение07.03.2010, 12:24 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Профессор Снэйп в сообщении #295461 писал(а):
А что с четвёртой степенью арксинуса делать?

Во-первых, там будет четвёртая степень синуса, а во-вторых - понизить степень. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Определенный интеграл
Сообщение07.03.2010, 12:31 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
arqady в сообщении #295473 писал(а):
Во-первых, там будет четвёртая степень синуса

Точно! Там даже косинусы сокращаются, который в знаменателе из-под корня вылазят и который в числителе из $dx = 2 \cos t\,dt$ получается :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Определенный интеграл
Сообщение07.03.2010, 12:48 


24/10/09
114
воспользовался тригонометрической подстановкой получилось
$% MathType!MTEF!2!1!+-
% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaybCaeqale
% aaaeaaa0qaaiabgUIiYdaakiGacYgacaGGUbGaaiikaiGacohacaGG
% LbGaai4yaiaadshacqGHRaWkcaWG0bGaam4zaiaadshacaGGPaaaaa!4327!
\[
\mathop \smallint \limits_{}^{} \ln (\sec t + tgt)
\]
$
и соответственно
$% MathType!MTEF!2!1!+-
% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaybCaeqale
% aacaaIWaaabaGaaGymaaqdbaGaey4kIipaaOGaciiBaiaac6gacaGG
% OaWaaSaaaeaacaaIYaaabaWaaOaaaeaacaaI0aGaeyOeI0IaamiEam
% aaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaeqaaaaakiabgUcaRmaalaaabaGaamiE
% aaqaamaakaaabaGaaGinaiabgkHiTiaadIhadaahaaWcbeqaaiaaik
% daaaaabeaaaaGccaGGPaGaeyypa0JaciiBaiaac6gadaWcaaqaaiaa
% iodaaeaadaGcaaqaaiaaiodaaSqabaaaaaaa!4BBA!
\[
\mathop \smallint \limits_0^1 \ln (\frac{2}{{\sqrt {4 - x^2 } }} + \frac{x}{{\sqrt {4 - x^2 } }}) = \ln \frac{3}{{\sqrt 3 }}
\]
$
верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определенный интеграл
Сообщение07.03.2010, 13:08 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
У меня ответ получился
$$
\frac{4\pi - 7\sqrt{3}}{64},
$$
никакими логарифмами даже близко не пахнет. Да и неоткуда им там взяться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определенный интеграл
Сообщение07.03.2010, 13:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5917
Новосибирск
Неверно - неоткуда логарифму взяться. Действуйте как сказал arqady.
Степень понижать можно по рекуррентности, которая возникает из интегрирования по частям, а можно удвоением аргумента - всего-то два раза воспользоваться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определенный интеграл
Сообщение07.03.2010, 13:23 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Профессор Снэйп в сообщении #295498 писал(а):
У меня ответ получился
$$
\frac{4\pi - 7\sqrt{3}}{64},
$$
никакими логарифмами даже близко не пахнет. Да и неоткуда им там взяться.

Только почему на 64?... Просто на 4.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определенный интеграл
Сообщение07.03.2010, 13:31 


24/10/09
114
я решал так $% MathType!MTEF!2!1!+-
% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEaiabg2
% da9iaaikdaciGGZbGaaiyAaiaac6gacaWG0baaaa!3C7D!
\[
x = 2\sin t
\]
$
$% MathType!MTEF!2!1!+-
% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamizaiaadI
% hacqGH9aqpcaaIYaGaci4yaiaac+gacaGGZbGaamiDaiaadsgacaWG
% 0baaaa!3F43!
\[
dx = 2\cos tdt
\]
$
полсле преобразований
$% MathType!MTEF!2!1!+-
% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaey4kIi-aaS
% aaaeaaciGGZbGaaiyAaiaac6gadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaWG
% 0baabaGaci4yaiaac+gacaGGZbGaamiDaaaacaWGKbGaamiDaaaa!423A!
\[
\smallint \frac{{\sin ^2 t}}{{\cos t}}dt
\]
$
затем
$% MathType!MTEF!2!1!+-
% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaey4kIi-aaS
% aaaeaaciGGZbGaaiyAaiaac6gadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaWG
% 0baabaGaci4yaiaac+gacaGGZbGaamiDaaaacaWGKbGaamiDaiabg2
% da9maalaaabaGaaGymaaqaaiaaikdaaaWaa8qaaeaadaWcaaqaaiaa
% igdacqGHsislciGGJbGaai4BaiaacohacaWG0baabaGaci4yaiaac+
% gacaGGZbGaamiDaaaaaSqabeqaniabgUIiYdGccqGH9aqpdaWdbaqa
% amaalaaabaGaamizaiaacIcaciGGZbGaaiyzaiaacogacaWG0bGaey
% 4kaSIaamiDaiaadEgacaWG0bGaaiykaaqaaiGacohacaGGLbGaai4y
% aiaadshacqGHRaWkcaWG0bGaam4zaiaadshaaaaaleqabeqdcqGHRi
% I8aOGaey4kaSYaa8qaaeaacaWGKbGaamiDaaWcbeqab0Gaey4kIipa
% kiabg2da9iGacYgacaGGUbGaaiikaiGacohacaGGLbGaai4yaiaads
% hacqGHRaWkcaWG0bGaam4zaiaadshacaGGPaGaey4kaSIaamiDaiab
% gUcaRiaadogaaaa!78B0!
\[
\smallint \frac{{\sin ^2 t}}{{\cos t}}dt = \frac{1}{2}\int {\frac{{1 - \cos t}}{{\cos t}}}  = \int {\frac{{d(\sec t + tgt)}}{{\sec t + tgt}}}  + \int {dt}  = \ln (\sec t + tgt) + t + c
\]
$
$% MathType!MTEF!2!1!+-
% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaci4Caiaacw
% gacaGGJbGaamiDaiabg2da9maalaaabaGaaGOmaaqaamaakaaabaGa
% aGinaiabgkHiTiaadIhadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaabeaaaaaaaa!3F22!
\[
\sec t = \frac{2}{{\sqrt {4 - x^2 } }}
\]
$ $% MathType!MTEF!2!1!+-
% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiDaiaadE
% gacaWG0bGaeyypa0ZaaSaaaeaacaWG4baabaWaaOaaaeaacaaI0aGa
% eyOeI0IaamiEamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaeqaaaaaaaa!3E7F!
\[
tgt = \frac{x}{{\sqrt {4 - x^2 } }}
\]
$ $% MathType!MTEF!2!1!+-
% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiDaiabg2
% da9iGacggacaGGYbGaai4yaiaacohacaGGPbGaaiOBamaalaaabaGa
% amiEaaqaaiaaikdaaaaaaa!3F4F!
\[
t = \arcsin \frac{x}{2}
\]
$
получается
$% MathType!MTEF!2!1!+-
% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaciiBaiaac6
% gacaGGOaWaaSaaaeaacaaIYaaabaWaaOaaaeaacaaI0aGaeyOeI0Ia
% amiEamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaeqaaaaakiabgUcaRmaalaaaba
% GaamiEaaqaamaakaaabaGaaGinaiabgkHiTiaadIhadaahaaWcbeqa
% aiaaikdaaaaabeaaaaGccaGGPaGaey4kaSIaciyyaiaackhacaGGJb
% Gaai4CaiaacMgacaGGUbWaaSaaaeaacaWG4baabaGaaGOmaaaacqGH
% 9aqpdaWcaaqaaiaaiodaaeaadaGcaaqaaiaaiodaaSqabaaaaOGaey
% 4kaSYaaSaaaeaacqaHapaCaeaacaaI2aaaaaaa!51A4!
\[
\ln (\frac{2}{{\sqrt {4 - x^2 } }} + \frac{x}{{\sqrt {4 - x^2 } }}) + \arcsin \frac{x}{2} = \frac{3}{{\sqrt 3 }} + \frac{\pi }{6}
\]
$
где ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определенный интеграл
Сообщение07.03.2010, 13:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5917
Новосибирск
У мну вышло $2\pi - \frac{7\sqrt 3}{4}$

ЗЫ. Перепроверил и исправил девятку на семёрку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определенный интеграл
Сообщение07.03.2010, 13:36 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Hitp в сообщении #295508 писал(а):
$% MathType!MTEF!2!1!+-
% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaey4kIi-aaS
% aaaeaaciGGZbGaaiyAaiaac6gadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaWG
% 0baabaGaci4yaiaac+gacaGGZbGaamiDaaaacaWGKbGaamiDaaaa!423A!
\[
\smallint \frac{{\sin ^2 t}}{{\cos t}}dt
\]
$

Косинусы не сокращены, степени перепутаны, о двойках вообще ни сном ни духом и вообще полный бардак.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определенный интеграл
Сообщение07.03.2010, 13:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5917
Новосибирск
Hitp в сообщении #295508 писал(а):
полсле преобразований

Уже неверно

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group