Идеалы в C[a,b]

[id]

На семинаре всплыла серия вопросов, что-то один не решается.

Известно, что в $C[a,b]$ множества вида $I_S :=\{ f: f|_S =0 \}$, где $S$ - некоторое множество, образуют идеал. При этом не все идеалы имеют данный вид, например, таков идеал всех функций, обращающихся в нуле в некотором $[x,b]$ (со своим $x$ для каждого элемента) с $x<b$. Заметим, что он не замкнут в равномерной топологии $C[a,b]$.

Напротив, известно, что множества вида $I_{c} :=\{ f: f|_{c} =0 \}$, где $c$ - некоторая точка из $[a,b]$, образуют максимальный идеал, причем все максимальные идеалы именно такого вида.

Вопрос - а все ли замкнутые идеалы имеют вид $I_S$? Почему?

[terminator-II]

да все. Эдвардс Функциональный Анализ

[Padawan]

Пусть $M$ -- замкнутый идеал в $C[a,b]$. Тогда $M$ -- замкнутая подалгебра алгебры $C[a,b]$.

Обозначим через $S$ множество всех точек $x\in [a,b]$, для которых $f(x)=0$ при всех $f\in M$. Так как каждый идеал содержится в максимальном идеале, то $S$ не пусто. Кроме того, $S$ замкнуто, так как если $x\in\overline{S}$, то по непрерывности $x\in S$.

Рассмотрим фактор-пространство $X=[a,b]/S$ по разбиению отрезка $[a,b]$ на точки $x\not\in S$ и $S$. Так как $S$ замкнуто, то $X$ компактное хаусдорфово пространство. Причем действительные функции из $M$ разделяют его точки и $f(S)=0$ для всех $f\in M$. По теореме Стоуна-Вейерштрасса $M=C_S(X)$ - множество всех непрерывных функций, равных нулю на $S$.

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #295277 писал(а):

Рассмотрим фактор-пространство $X=[a,b]/S$ по разбиению отрезка $[a,b]$ на точки $x\not\in S$ и $S$.

А как оно точно определяется, это фактор-пространство?

У меня есть гипотеза, но она, похоже, неверна. В теореме Стоуна-Вейерштрасса требуется, чтобы подалгебра содержала ненулевую константную функцию, а по моей гипотезе это не так

-- Вс мар 07, 2010 07:19:14 --

id в сообщении #295218 писал(а):

Напротив, известно, что множества вида $I_{c} :=\{ f: f|_{c} =0 \}$, где $c$ - некоторая точка из $[a,b]$, образуют максимальный идеал, причем все максимальные идеалы именно такого вида.

Интересно, как это доказывается.

[Padawan]

Профессор Снэйп
Множество $U\subset X=[a,b]/S$ открыто тогда и только тогда, когда его прообраз $p^{-1}(U)$ открыт в $[a,b]$, где $p: [a,b]\to X$ -- каноническая проекция. Так как $[a,b]$ -- компакт, то $X=p([a,b])$ тоже компакт. Его хаусдорфовость устанавливается непосредственно: берем две точки $x\in X$, $y\in X$. Если ни одна из них не является множеством $S$, то множества $p(U)$, $p(V)$ где $U$, $V$ - непересекающиеся открытые окрестности точек $x,y$, непересекающиеся также и с $S$, будут непересекающимися окрестностями $x,y$ в $X$. Если $x=S$, то надо в качестве $U$ взять окрестность $S$.

Да, требование наличия всех констант в алгебре -- это одна из наиболее употребительных форм теоремы
Стоуна-Вейерштрасса. Есть такой вариант: $A$ -- равномено замкнутая подалгебра алгебры $C(X)$, разделяющая точки. Тогда есть два варианта 1) для любой точки $x\in X$ найдется функция $f\in A$, что $f(x)\neq 0$, тогда $A=C(X)$ 2) существует точка $s\in X$, что $f(s)=0$ для любой функции $f\in A$. Тогда $A=C_s(X)$. У нас как раз второй случай.

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #295372 писал(а):

Профессор Снэйп
Множество $U\subset X=[a,b]/S$ открыто тогда и только тогда, когда...

Простите, но я не понимаю даже, как строится это фактор-множество $X$ (сам носитель, без топологии)

[Padawan]

Элементы $X$ -- классы эквивалентности по разбиения. Точка $x_1\approx x_2$, если они принадлежат одному и тому же элементу разбиения. Элементы разбиения -- одноточечные множества $\{x\}$ , при $x\not\in S$, и множество $S$.

[Профессор Снэйп]

А, понятно. Можно считать, что $[a,b]/S = ([a,b] \setminus S) \cup \{ c_S \}$, где $c_S \not\in [a,b]$ --- символ для "нового" элемента. Ну и

$$ p(x) = \begin{cases} x, & x \not\in S \\ c_S, & x \in S \end{cases} $$

-- Вс мар 07, 2010 13:03:47 --

Топология на $X = [a,b]/S$ вводится как минимальная топология, при которой $p$ непрерывно. Компактность и хаусдорфовость понятны (кстати, этого могли бы и не объяснять, но я понимаю, что в чужой мозг не влезешь и не определишь, что кому понятно, а что нет ).

Про теорему Стоуна-Вейерштрасса до сегодняшнего дня не слышал. Прочитал здесь. $C(X)$, если я правильно понял, это множество всех непрерывных отображений из $X$ в $\mathbb{R}$ (то, что в статье из Вики обозначено как $C(X,\mathbb{R})$. А вот что такое $C_s(X)$ я пока не врубаюсь

-- Вс мар 07, 2010 13:07:59 --

А, нет, у Вас же это выше есть! $C_s(X)$ --- это множество всех функций из $C(X)$, равных нулю на $s$.

-- Вс мар 07, 2010 13:10:49 --

А что значит "равномерно замкнутая", этот термин мне непонятен?

Ну и ещё вопрос про максимальные идеалы у меня остаётся, но это, похоже, не к Padawan, а к id.

[id]

Профессор Снэйп

Цитата:

Напротив, известно, что множества вида $I_{c} :=\{ f: f|_{c} =0 \}$, где $c$ - некоторая точка из $[a,b]$, образуют максимальный идеал, причем все максимальные идеалы именно такого вида.

Доказывается так:
Допустим, что есть макс. идеал $J$ (нетривиальный), причем $\forall c \in [a,b] \ \exists f_c\in J: f(c) \neq 0$. $f_c$ - непрерывны, поэтому для каждого $f_c \ \exists \ U(c): f_c |_{U(c)} \neq 0$. Выберем из этих $U(c)$ конечное покрытие $\{U(c_i)\}_{i=1}^n$. Рассмотрим элемент $\sum\limits_{i=1}^n f_{c_i}^2 \in J$. Он обратим. Противоречие.

Padawan
Хм, занятно... а почему после факторизации $[a,b] / S$функции разделяют точки?

terminator-II
Почитал, спасибо!

[Профессор Снэйп]

id в сообщении #295404 писал(а):

Доказывается так:
Допустим, что есть макс. идеал $J$ (нетривиальный), причем $\forall c \in [a,b] \ \exists f_c\in J: f(c) \neq 0$. $f_c$ - непрерывны, поэтому для каждого $f_c \ \exists \ U(c): f_c |_{U(c)} \neq 0$. Выберем из этих $U(c)$ конечное покрытие $\{U(c_i)\}_{i=1}^n$. Рассмотрим элемент $\sum\limits_{i=1}^n f_{c_i}^2 \in J$. Он обратим. Противоречие.

Хм, действительно тривиально. Спасибо

-- Вс мар 07, 2010 13:30:19 --

id в сообщении #295404 писал(а):

Padawan
Хм, занятно... а почему после факторизации $[a,b] / S$функции разделяют точки?

Ну, я так понял, что исходные функции из $M$ разделяли точки $x \neq y$, если неверно, что $x,y \in S$. Ясно, что тогда после факторизации все точки будут разделятся. А почему верно первое, мне тоже не очевидно.

[Padawan]

id в сообщении #295404 писал(а):

Padawan
Хм, занятно... а почему после факторизации $[a,b] / S$функции разделяют точки?

Если $x\not\in S$, то найдется функция $f\in M$, что $f(x)\neq 0$. Тогда $g=f\overline {f}\in M$ -- вещественная, даже неотрицательная, и тоже $g(x)\neq 0$. Если теперь $y\in X$ -- какая то другая точка, то возьмем вещественную функцию $h\in C[a,b]$, что $h(x)\neq 0$, $h(y)=0$. Тогда $k=gh\in M$ (т.к. $M$ идеал в $C[a,b]$), и $k(x)\neq 0$, $k(y)=0$.

Профессор Снэйп в http://dxdy.ru/post295395.html#p295395 писал(а):

Топология на $X = [a,b]/S$ вводится как минимальная топология, при которой $p$ непрерывно. Компактность и хаусдорфовость понятны (кстати, этого могли бы и не объяснять, но я понимаю, что в чужой мозг не влезешь и не определишь, что кому понятно, а что нет ).

Наоборот, как максимальная топология, при которой $p$ непрерывно. Т.е. по определению $U\subset X$ открыто тогда и только тогда, когда $p^{-1}(U)$ открыто. Больше никаких открытых в $X$ быть не может (иначе $p$ уже не будет непрерывной).

Странно, что Вам была понятна хаусдорфовость, и в то же время непонятно, что это за множество, и как на нем задается топология

[Профессор Снэйп]

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #295414 писал(а):

Странно, что Вам была понятна хаусдорфовость, и в то же время непонятно, что это за множество, и как на нем задается топология :)

Хаусдорфовость стала понятна сразу же после того, как стало понятно, что за множество. Вы же, считая, что я понимаю конструкцию множества (чего не было) стали объяснять хаусдорфовость (которая, если бы Ваше предположение о понимании мною конструкции множества оказалось верным, в объяснении бы не нуждалась). То есть для того, чтобы мне стало всё понятно, требовалось объяснить первое, а второе обозначить как очевидное; Вы же поступили с точностью до наоборот :)

-- Вс мар 07, 2010 14:26:12 --

Padawan в сообщении #295414 писал(а):

Наоборот, как максимальная топология, при которой $p$ непрерывно. Т.е. по определению $U\subset X$ открыто тогда и только тогда, когда $p^{-1}(U)$ открыто. Больше никаких открытых в $X$ быть не может (иначе $p$ уже не будет непрерывной).

То есть чем больше открытых множеств, тем топология меньше. Понял, больше не перепутаю

Странно, а почему именно такая терминология. Ведь топология --- это, по определению, семейство открытых множеств.

[id]

Padawan

Цитата:

то возьмем вещественную функцию $h\in C[a,b]$, что $h(x)\neq 0$, $h(y)=0$

А она обязательно ли существует?

[Padawan]

Профессор Снэйп в сообщении #295428 писал(а):

Padawan в сообщении #295414 писал(а):

Наоборот, как максимальная топология, при которой $p$ непрерывно. Т.е. по определению $U\subset X$ открыто тогда и только тогда, когда $p^{-1}(U)$ открыто. Больше никаких открытых в $X$ быть не может (иначе $p$ уже не будет непрерывной).

То есть чем больше открытых множеств, тем топология меньше. Понял, больше не перепутаю

Странно, а почему именно такая терминология. Ведь топология --- это, по определению, семейство открытых множеств.

Все правильно, чем больше открытых множеств, тем топология больше = сильнее = тоньше ... В фактор-пространстве и вводится сильнейшая топология, при которой проекция $p\colon [a,b]\to X$ непрерывна. Все $U$, для которых $p^{-1}(U)$ открыто туда можно засунуть, а вот больше - уже нельзя.

id в сообщении #295431 писал(а):

Padawan

Цитата:

то возьмем вещественную функцию $h\in C[a,b]$, что $h(x)\neq 0$, $h(y)=0$

А она обязательно ли существует?

Конечно, ведь $x\neq y$. Если $x,y$ - обычные точки из $[a,b]$, то проблем нет. Если же $x$ - точка, а $y=S$, то тоже проблем нет, т.к. $S$ замкнуто и $x\not\in S$.

[id]

Padawan
А, пардон. Пролетело мимо то, что $h\in C[a,b]$ ( а не из $J$ ).
Тогда вроде получается, спасибо!