Решение алгебраических уравнений выше 2-ой степени

[Ales]

Интересный факт: формула Кардано для кубического уравнения помогает найти его действительное решение только в случае, когда дискриминант больше нуля и когда есть три решения. Если же есть только одно решение (дискриминант меньше нуля), надо извлекать корень кубический из комплексного числа, что в свою очередь обратно приводит к кубическому уравнению.
Извлечение кубического или квадратного корня, а также решение уравнения любой степени находится с одинаковой сложностью приближенно, например, методом Ньютона. Решение в радикалах условно интересно малой толике математиков.

[ewert]

Ales в сообщении #295021 писал(а):

Если же есть только одно решение (дискриминант меньше нуля), надо извлекать корень кубический из комплексного числа, что в свою очередь обратно приводит к кубическому уравнению.

В точности наоборот. Если уравнение имеет только один вещественный корень, а два других комплексны, то никакой необходимости прибегать к комплексным вычислениям нет (не считая просто выписывания ответа). Если же все три корня вещественны -- вот тут действительно без комплексных вычислений не обойтись никак.

[Ales]

ewert в сообщении #295071 писал(а):

В точности наоборот.

Спасибо за исправление.

Повторю исправленное:
формула Кардано для кубического уравнения помогает найти его действительное решение только в случае, когда дискриминант больше нуля и когда есть всего одно такое решение. Если же есть три действительных решения (дискриминант меньше нуля), надо извлекать корень кубический из комплексного числа, это задача о трисекции угла приводящая опять к кубическому уравнению.

[dmd]

Ales в сообщении #295090 писал(а):

Если же есть три действительных решения (дискриминант меньше нуля), надо извлекать корень кубический из комплексного числа, это задача о трисекции угла приводящая опять к кубическому уравнению.

А значит и к тригонометрическим и обратнотригонометрическим вычислениям.

[dmd]

На форуме e-science.ru подсказали красивую иллюстрацию комплексных (и действительных) корней уравнения

F = 21 + 47 x + 101 x^2 + 17 x^3 + x^5 /. x -> a + I b;
ContourPlot[{Im[F]==0,Re[F]==0,Im[F]+Re[F]==0,Im[F]-Re[F]==0},{a,-10,10},{b,-10,10},Axes->True]

Вместо $F$ можно подставить полином любого своего уравнения одного неизвестного, и даже не полином (если конечно CAS сумеет вычислить). К системам уравнений это похоже тоже применимо.

[Коровьев]

Можно записать все корни и так:
$z_k=\varepsilon ^k \sqrt[3]{-{q\over2}+\sqrt{{q^2\over4}+{p^3\over27}}}+\varepsilon ^{-k}\sqrt[3]{-{q\over2}-\sqrt{{q^2\over4}+{p^3\over27}}}$
где:
$\varepsilon = e^{i\frac{{2\pi }}{3}} $
$k=0, 1, -1.$
Не удобно для вычислений, но удобно для мат.выкладок

[fer1800]

Уравнения 2,3, 4 степени решаются все.

Какие случаи разрешимых уравнений известны для степеней более высокого порядка?

[Коровьев]

fer1800 в сообщении #297643 писал(а):

Уравнения 2,3, 4 степени решаются все.

Какие случаи разрешимых уравнений известны для степеней более высокого порядка?

Для любой степени можно "настрогать" бесчисленное множество уравнений даже с целыми коэффициентами, неприводимых в поле рациональных чисел, но имеющих конкретные вычислимые корни.
К примеру:
Пять корней
$x_k = e^{\frac{{2\pi i}}{{11}}k} + e^{\frac{{ - 2\pi i}}{{11}}k} = 2\cos \frac{{2\pi }}{{11}}k$
$ k = 1,2,3,4,5 $
Являются корнями уравнения 5-ой степени с целыми коэффициентами.
$x^5 + x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$
Коэффициенты $a,b,c,d$ можно вычислить по корням, но мне лень. Последний коэффициент по модулю равен единице

[fer1800]

Вы утверждаете, что коэффициенты будут целыми.

Не расскажете из каких соображений вы выбирали эти корни?

Впрочем полином 5-ой степени можно представить как произведение полиномов второй степени и полинома первой степени с целыми коэффициентами. При этом корни полиномов второй степени можно выбрать так, чтобы они были комплексными или нецелыми.

В таком случае вопрос получения полиномов с целыми коэффициентами и известными корнями не стоит. Вопрос заключается в том как определить разрешимо ли уравнение или нет.

[Someone]

fer1800 в сообщении #297858 писал(а):

Вопрос заключается в том как определить разрешимо ли уравнение или нет.

Исследовать группу Галуа.

[tolstopuz]

fer1800 в сообщении #297643 писал(а):

Уравнения 2,3, 4 степени решаются все.

Какие случаи разрешимых уравнений известны для степеней более высокого порядка?

http://www.math.uni-duesseldorf.de/~klu ... nimum.html
Разрешимым группам соответствуют разрешимые уравнения, неразрешимым - неразрешимые. Для каждой группы есть пример.

[fer1800]

Примеры нашёл. Как определить решается уравнение или нет - пока не разобрался.

[Коровьев]

fer1800 в сообщении #297858 писал(а):

Вы утверждаете, что коэффициенты будут целыми.

Не расскажете из каких соображений вы выбирали эти корни?

Впрочем полином 5-ой степени можно представить как произведение полиномов второй степени и полинома первой степени с целыми коэффициентами. При этом корни полиномов второй степени можно выбрать так, чтобы они были комплексными или нецелыми.

В таком случае вопрос получения полиномов с целыми коэффициентами и известными корнями не стоит. Вопрос заключается в том как определить разрешимо ли уравнение или нет.

Ну, это просто следует из теории алгебраических чисел.
Более специфично, все минимальные многочлены кольца алгебраических чисел из полного модуля с единицей - суть многочлены с целыми коэффициентами

[fer1800]

Коровьев в сообщении #298040 писал(а):

fer1800 в сообщении #297858 писал(а):

Вы утверждаете, что коэффициенты будут целыми.

Не расскажете из каких соображений вы выбирали эти корни?

Впрочем полином 5-ой степени можно представить как произведение полиномов второй степени и полинома первой степени с целыми коэффициентами. При этом корни полиномов второй степени можно выбрать так, чтобы они были комплексными или нецелыми.

В таком случае вопрос получения полиномов с целыми коэффициентами и известными корнями не стоит. Вопрос заключается в том как определить разрешимо ли уравнение или нет.

Ну, это просто следует из теории алгебраических чисел.
Более специфично, все минимальные многочлены кольца алгебраических чисел из полного модуля с единицей - суть многочлены с целыми коэффициентами

Излагайте.

[Коровьев]

fer1800 в сообщении #298334 писал(а):

Излагайте.

Излагаю.
Боревич, Шафаревич. Теория Чисел.
Глава II. Представление чисел разложимыми формами. Стр.104-207.