Неравенство

[Sasha2]

Не совсем понятно, как вот показать, что
$ax+by \ge a^xb^y$, если $x+y=1$, а $a$ и $b$ положительные вещественные числа, $x$ и $y$ - неотрицательны.
Причем само то неравенство доказать легко.
Интересует только доказательство того, что данное неравенство переходит в равенство тогда и только тогда, когда $a=b$.

[jetyb]

Неравенство неверно: если взять $a=b=1, x=y=\frac{1}{2}$, то получим $1\geq 2$.

[Sasha2]

Извиняюсь, уже исправил

-- Пт мар 05, 2010 01:42:05 --

О нашел решение, а также долой всю эту лабуду с рациональными и иррациональными случаями.

Нужно просто воспользоваться верным неравенством
$uv \le \frac{u^p}{p}+\frac{v^q}{q}$, верное для любых положительных $u$ и $v$ при условии, что положительные $p$ и $q$ таковы, что $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ и переходящее в равенство тогдаи только тогда, когда $u^p=v^q$

Положив тогда $u=x^a$, $v=y^b$, $p=\frac{1}{x}$ и $q=\frac{1}{y}$, получаем сразу все и доказательство и предельный случай перехода неравенства в равенство.

[jetyb]

Можно решить и так:
$b\left(\frac{a}{b}\right)^x\vee b+(a-b)x$
Слева стоит выпухлая при $\frac{a}{b}\neq 1$функция, справа стоит прямая, в точках 0 и 1 они совпадают - значит, если $a\neq b$, то неравенство выполнено(если $a=b$ то равенство очевидно).

[Mikhail Sokolov]

http://en.wikipedia.org/wiki/Inequality ... tric_means