2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неравенство
Сообщение04.03.2010, 23:43 


21/06/06
1721
Не совсем понятно, как вот показать, что
$ax+by \ge a^xb^y$, если $x+y=1$, а $a$ и $b$ положительные вещественные числа, $x$ и $y$ - неотрицательны.
Причем само то неравенство доказать легко.
Интересует только доказательство того, что данное неравенство переходит в равенство тогда и только тогда, когда $a=b$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение05.03.2010, 00:19 
Заблокирован


19/06/09

386
Неравенство неверно: если взять $a=b=1, x=y=\frac{1}{2}$, то получим $1\geq 2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение05.03.2010, 00:24 


21/06/06
1721
Извиняюсь, уже исправил

-- Пт мар 05, 2010 01:42:05 --

О нашел решение, а также долой всю эту лабуду с рациональными и иррациональными случаями.

Нужно просто воспользоваться верным неравенством
$uv \le \frac{u^p}{p}+\frac{v^q}{q}$, верное для любых положительных $u$ и $v$ при условии, что положительные $p$ и $q$ таковы, что $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ и переходящее в равенство тогдаи только тогда, когда $u^p=v^q$

Положив тогда $u=x^a$, $v=y^b$, $p=\frac{1}{x}$ и $q=\frac{1}{y}$, получаем сразу все и доказательство и предельный случай перехода неравенства в равенство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение05.03.2010, 00:51 
Заблокирован


19/06/09

386
Можно решить и так:
$b\left(\frac{a}{b}\right)^x\vee b+(a-b)x$
Слева стоит выпухлая при $\frac{a}{b}\neq 1$функция, справа стоит прямая, в точках 0 и 1 они совпадают - значит, если $a\neq b$, то неравенство выполнено(если $a=b$ то равенство очевидно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение05.03.2010, 00:58 


10/01/07
285
Санкт-Петербург
http://en.wikipedia.org/wiki/Inequality ... tric_means

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Bing [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group