2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Тригонометрический ряд
Сообщение02.03.2010, 03:12 


18/05/09
34
Доказать, что ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\sin(nx)$ сходится равномерно на отрезке $[0, 2\pi]$ тогда и только тогда, когда${\lim \limits_{x \to 0} na_n = 0$.
Если ряд сходится равномаерно, то ${\lim \limits_{x \to 0} na_n = 0$ я доказал. В обратную сторону не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрический ряд
Сообщение02.03.2010, 09:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14477
Может быть Вы имели в виду ${\lim \limits_{n \to \infty} na_n = 0?$

А числовой ряд $\sum a_n$ не сходится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрический ряд
Сообщение02.03.2010, 10:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
По-видимому, монотонность коэффициентов подразумевается. Доказывается с помощью критерия Коши. Можно считать, что $x\in(0;\pi)$. Сумма $\sum_{n=M}^{N}a_n\sin nx$ разбивается на две (какая-то может оказаться пустой): в первой сумме $nx\le1$, во второй --- $nx>1$. В первой сумме используем грубые оценки $|\sin nx|\le nx$ и $n|a_n|\le\epsilon$ (если $M$ велико), поэтому первая сумма есть $O(\epsilon)$. Во второй сумме применяем суммирование по частям (aka преобразование Абеля) и получаем ту же самую оценку (здесь используется монотонность).

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрический ряд
Сообщение02.03.2010, 11:54 


18/05/09
34
А как доказать ограниченность $\sum_{k=n}^Nsin kx$, если $nx>1$(чтобы применить ко второй части суммы преобразование Абеля)?
P.S. Да, монотонность ${a_n}$подразумевается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрический ряд
Сообщение02.03.2010, 13:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
А ограниченность не нужна. Нужно $O(n)$ (ведь есть ещё $a_n$). А эта оценка как раз и получается из $O(1/x)$ (поскольку $x\in(0;\pi)$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрический ряд
Сообщение03.03.2010, 12:04 


18/05/09
34
Да, понятно, спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group